Nous poserons
au c
en vertu d'une observation antérieure, i est compris entre la plus grande et la plus petite des quantités a, 6, c; nous poserons aussi
Ta = — (I — ^^)(I — CK T/,=— (i — c)(i-ûr), Tc= (i-a)(i-6).
Enfin, nous nous contenterons d'écrire les équations suivantes dans les cinq premières desquelles on reconnaîtra les équations d'Euler, les intégrales des forces vives et des aires, et dont les trois
APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ET A LA MÉCANIQUE. IqS
dernières s'obtiennent en résolvant, par rapport à /?2, <jr^, r^, celles des équations précédentes qui sont linéaires en/?^, q^^ r^,
oc -± -f-a(o— - c)qr = o, h ~- H = ix*.
dt ' a b c ^ ^
a6 -r -hc(a — b)pq = 0, />»-+- <7« -+- r* = ta* = fJL'(R*-h 1),
^ ^'.uMTg- R^ ) 6V«(T^-R>) c^fjL«(Te-R«)
De ces équations, de la relation
dp dq dr ^ dK
^ dt ^ dt dt ^ dt
et des équations d'Euler, on tire sans peine la relation
<iR* R»^^ = î^'(T«-R»)(T,-R*)(T,-R').
Si l'on y fait
fiîR» = J jx«(Ta -+- T^ -f- T,) - j^„
elle prend la forme normale
où
^a= J îxHTft-f-T,-'2Ta), 6^-6^= îJL'(^^-c)(i-a),
e^ = i fx«(Ta + T^ - 2Te), ea - ep ^y^{a--b) (i - c).
Nous conviendrons de ranger les axes Ox, Oy, O^ de manière que b soit compris entre a et c et que (i — 6) (i — c) soit positif; deux cas sont alors possibles :
|0 rt > ô > I > c,
on constate que, dans ces deux cas, on a é'y > ^a > <?p ^ nous prendrons toujours, en conséquence, y = i, a = 2, ^ = 3; en sorte
ig6 FONCTIONS ELLIPTIQUES.
que l'on aura
v/«?, — e, = ii\\/{a^c){b — ï)\, j. l./^ — à ' — g !
v/es— C3 = — jx|v/(a — ^>)(i — c)|, ^
/ei~e3= jx|v/{6 — c)(a — 1)1, |y/6 — ca — ij'
671. L'intégrale de l'équation difTérentielle eny^ est de la forme
À étant une constante. [1 est aisé de reconnaître que l'axe instantané de rotation vient, pour des valeurs convenables de /, se placer dans le plan des xz] nous choisirons un de ces instants pour origine du temps; nous supposerons, de plus, que les directioos positives des axes soient telles que, pour < = o, les valeurs />q, r© de /?, r soient positives ; pour t = o, q ^= Oj et, d'après la seconde
équation d'Eiiler, ^ est du signe de a — c; nous désignerons par e Tunité positive ou négative suivant que a est plus grand ou plus petit que c; enfin, nous introduirons une constante purement imaginaire v satisfaisant aux inégalités o < - < -:^ et définie par les égalités concordantes
Çiot'^ 7 lv/(a-i)(a-c)I, $jot'= '^^ | v/(a — 6) (a — c) |,
if ie
ip'ç = izix^{a — b)(a — c){a— i ).
Pour ^ = o, ^r = o, R^ doit être égal à T^, donc y^ qui se réduit à jjX doit être égal k e^'jX doit donc être congru à CO3, rnodulis 2 0),, 2W3; rien n'empêche de supposer X^coj. De la relation j, = p(^ -}- (1)3) on conclut l'expression de R^ en fonction de /, savoir
où Rq est la valeur de R pour ^ = o ; ayant ainsi Texpression de i-, ou de R^, ou en déduit celle de /?-, y-, r^, puis, en extrayant les
racines carrées et en délerminanl les signes de façon que, pour / = o, /?, r soient positifs et que q ait le signe de e,
-Vs
-»'li/i^
672. Pour déterminer 6 en fonction de i-, nous partirons de la relation, établie par M. Darboux,
il suffit de remplacer R^ par sa valeur en fonction de pt, et d'appliquer la méthode de décomposition en éléments simples, ou plutôt la seconde formule (CIIIi), pour trouver
dt ^ lis pt — p(t^H-wi)
= [kb-h -T- [2^(1^-^101) H- Ç(« — p a>i) — Ç(r -f- (;-+- (0,);
puis, en intégrant, on obtient, après quelques réductions faciles.
En multipliant l'expression de e^"^ par la dernière des expressions de R^, extrayant les racines carrées et choisissant le signe de façon que, pour ^ = 0, l'expression de Re"^ se réduise à Rq, on a enfin
le signe se conserve puisque le second membre reste continu et ne s'annule pas.
Cette dernière formule montre que, dans le plan (II), les coordonnées rectangulaires d'un point de l'herpolodie sont des fonctions univoques de /, et ce résultat peut, à la rigueur, dispenser de rechercher quelle détermination on doit donner au logarithme
îgS FONCTIONS ELLIPTIQUES.
dans l'expression de 6. Au reste, cette recherche ne présente aucune difficulté si Ton applique la même méthode que dans le pendule sphérique. Pour i^ =: 2(i)< (v, ^ = 2a)| T, on a
^= ,^ J p;(T -«>-!) &;(T-f-ci^-,M1^
dr 2«£ [3ri(T — il' — i) 2ri(T-+-w — •)J '
où
A = 20)1 fx6 -h — ^^^ = 2(JJi ua -4- T- 5-*^ — .
' 4£ STj M' '^ fS 3, iV
Lorsque T varie de o à i , on en déduit
e = AT -f- ETH- E -U log/(T),
où l'on a posé, pour abréger,
et où — . log/(T) mesure l'angle négatif dont il faut faire tourner
le vecteur allant de o à â|(T-hw — ^) pour l'amener sur l'axe des quantités positives. Cet angle est obtus, droit ou aigu suivant que T est inférieur, égal ou supérieur à .}; il est nul pour T= i. Si donc on désigne par 6, l'angle polaire du premier point de tangence J| de l'herpolodie avec le cercle de centre P et de rayon
^L' — b'^y on a
Pour T = i , on obtiendra de même, pour l'angle polaire 0^ du premier point de tangence Ja de l'herpolodie avec le cercle de
centre P et de rayon y/7- — a^ (après le point Jo),
Bj = A -+- £71 = A 01.
Lorsque T varie de n à /i 4- 1 , /i désignant un entier positif quelconque, on devra prendre dans l'expression précédente qui donne 6 en fonction de T,
-^. log/(T) = -f- nr -T- -^. log/(T - /i),
où le logarithme qui figure dans le second terme du second membre est déterminé par ce qui précède, puisque T — n est compris
entre o et i . La symétrie de Therpolodie par rapport à PJ| ou à PJ2 s'établit comme dans Tétude de la courbe décrite par la projection de OM sur le plan des xy dans Tétude du pendule sphérique.
673. Il reste à déterminer, en fonction de /, les angles d'Euler A, 9, o qui fixent la position du trièdre Oxyz^ entraîné avec le corps, par rapport au trièdre fixe OXYZ. JNous choisirons Taxe OZ suivant la direction fixe du vecteur qui représente le moment des quantités de mouvement par rapport à O, et nous supposerons essentiellement que le trièdre OXYZ a la môme disposition que le trièdre Oxyz\ les neuf cosinus directeurs des axes Ox^ Oy, O;:, par rapport aux axes OX, OY, OZ, sont suffisamment désignés par le Tableau :
Jk • • • •
Ma ... ,
ïi
Ys
quant aux angles ^, 6, (p, ce sont les angles dont il faut, pour l'amener sur le trièdre OXYZ, faire tourner le trièdre Oxyz : i^ autour de OZ, 2° autour d'une direction arbitrairement choisie OX, sur l'intersection des plans des xy et des XY, 3** autour de Os; par ces rotations successives, le trièdre OXYZ occupe successivement les positions OX, Y, Z, OX, YjZ, Oxyz^ et Ton passe d'un système d'axes au suivant par les formules
X = X|C0s4' — Yj sin^, Y = Xi sin<J/ -h Yicos'}', Yj — Yj cos 6 — -ssinô, Z— Yjsin6-+-3 cos 0,
Xi = xcoso — ^sincp, Yj = 0? sinç -i-^cos«p;
l'élimination de X,, Y,, Y2 entre ces formules fournit les expressions de X, Y, Z au moyen de x^ y^ z, et les expressions des neuf cosinus directeurs au moyeu de 0, 4, «p.
T. et M. — IV.
200 PONCTIONS ELLIPTIQUES.
Les formules de Cinémalique
d^h dSS d^ d^ d^ </o
peuvent s^écrire immédiatement en envisageant la rotatioD représentée par le segment Où (rotation dont les composantes suivant les axes Ox^ O^, 0-3 sont/^j^r, r) comme résultant de la composition des trois rotations -^ suivant OZ, -^ suivant 0-3,-7- sui-
dt ^ dt ' dt
vant 0X| et en appliquant le théorème des projections.
La détermination de ^, 6, o en fonction de t revient à l'intégration de ces trois équations différentielles linéaires où p^ q^ r sont maintenant des fonctions connues de t,
674. Les projections sur Ojc, O^, O^ de Taxe fixe des quantités de mouvement par rapport à O étant A/?, B^r, Cr, on a
Yi = sinO sin<p =z -^ = «Vet — «3 Çoî^ $i3^, Yj ^ sinOcos© = ^ = — e/<?, — Ca^iii'Çot',
Ys = cos6 = — =Ui^Uit\ on tire de là
cette expression ne s'annule pour aucune valeur de /; sa racine carrée, devant être continue, ne peut changer de signe; on devra donc donner à cette racine carrée le signe de la valeur initiale de sinO, que nous supposerons positive : on peut, en effet, supposer toujours que Tangle Oq est compris entre o etit; il en sera alors toujours de même de l'angle 0, et Ton aura
sin6 = — /ej — Cl ^— — ^^ ^ -^ ;
<^nV ^it
dès lors sinO, cosO, sin'^, coscp étant déterminés sans ambiguïté, il n'y a plus qu'à déterminer l'angle '{^, c'est-à-dire qu'à intégrer Tune
des équations de la Cinémalique, où tout est connu sauf ;7^; il est
de
commode de se servir de la combinaison obtenue en multipliant
la première par sincp, la seconde par coscp et en ajoutant, ce qui
donne
d'I /) sino -+- 7 cos<p __ /?sino -♦- 7 cos©
tlt Yi sino H- Vj coso "~ ^ p . q
' • * ^ — sino-+- r cosp
puis, en remplaçant sin'^ et cos(p dans le dernier membre par les quantités proportionnelles -> |f
EL ^91 \ d^ __ a b
les valeurs précédemment trouvées pour /?, q donnent ensuite
d'où Ton conclut
puis, en intégrant, et en supposant que ^ soit nul pour / = o,
^ V^ It^ I lit ^ 3'(i' — t)*
la détermination du logarithme donne lieu à des observations analogues à celles que Ton a développées dans la théorie du pendule sphérique et rappelées à propos de Tangle 0 ; nous nous contenterons d'énoncer les résultats :
Si l'on pose
on aura
et si / = 2/1(1), -f- ^', n étant entier cl t' étant compris entre o
et 2 0)1, on devra prendre
7iog/,(0 = an7r-i-^Iog/,(^'),
T iog/i{t') élant un nombre réel compris entre o et air; si ^' est
compris entre o et {, - log/i {t') est le double de l'angle positif aigu dont il faut faire tourner le vecteur qui va du point o au point STi ( j pour l'amener sur la partie positive de l'axe des quantités purement imaginaires; pour deux valeurs de t' également éloignées de coi, les deux valeurs de -^logy*(^') ont une somme égale à 2Tc; si /i est un nombre entier, on a
7log/i(/ia>,) = /ITT.
If
675. La solution peut être regardée comme achevée, puisque les neuf cosinus s'expriment au moyen de ^, 6, o, Hermite a toutefois donné pour ces neuf cosinus directeurs des expressions simples qu'il nous reste à faire connaître.
Calculons d'abord les valeurs initiales de ces cosinus, en faisant ^ = o dans les expressions qui donnent sinO, cosO, sin 9, coso, on trouve
sin 6o = i ^ e^ — e^ Joi ^, cos6o = Ç3ît'» sirnpo=i, cosçpo = o;
on a ensuite, en affectant d'indices supérieurs o les valeurs initiales des cosinus, et se rappelant que Ao = o,
a; = o, a5 = -i, ag = o; pf = cosOo, PJ = o, PJ=— sine,;
Y;=sin6o, Yi = o, 73 = ^0560.
Rappelons encore les formules de Cinématique
et celles qu'on en déduit par les permutations circulaires effectuées sur les lettres a, [3, y, permutations qui laissent invariables les quantités /?, </, r aussi bien que les indices 1,2, 3; dans ces formules, comme dans celles qui suivent, les accents indiquent les dérivées prises par rapport à l.
APPLICATIONS A LA GÉOMÉTRIE ET A LA MÉCANIQUE. ao3
En Utilisant ces relations, le fait bien connu que dans le déterminant
Ti Yi Y3
chaque élément est égal au mineur correspondant, et les résultats déjà acquis, on trouve sans peine
^^io,(..-^UM = .^i^^
rr
En intégrant entre les limites o et t^ et en se rappelant que pour r = o, a3 + «£?$ doit se réduire à
ce qui détermine la constante d^ntégration, on parvient aisément à la formule
a, -H a?3 = e y/e. - ej "^[""Z^} e^i^^^^^'^,
En changeant i en signe, on obtient
— i dans cette formule, ce qui change v de
en sorte que as et ^3 sont entièrement déterminés. On a ensuite
a, -f- lep, — — v-Q
ao4 FONCTIONS ELLIPTIQUES.
et, par conséquent, en tenant compte de la formule (XV4),
De même
a ^.-.fi - T' T« - « »T»
= «[(e,-e,)î.,i.Ç„PU<?u'H-Çi.«'5«0:;^7^STi*"**"*^'"' ou, en tenant compte de la formule (XV5),
APPLICATIONS A l'aLG6BRE ET A l'ARITHMÉTIQUS. 2o5
