Posons maintenant

on aura, en désignant par A le nombre ^ç^Çq qui ne dépend pas de v^

d'où, en prenant les dérivées et faisant v = o,

2r\(o|':) = A7u/(o), et, par suite,

puis, pour une détermination convenable des logarithmes,

log2ri(t;|':) = log i &',(o !-:)-{- log sinTUP -h log ^^.

Choisissons arbitrairement une détermination de log- 5\ (^K) î

prenons pour logsimrp' la fonction holomorphe \s(ç) définie plus haut; observons enfin que, si l'on pose 'z = t-hil', en désignant par /, t' des nombres réels, la fonction /(t^), dont les zéros sont les mêmes que ceux de la fonction 3| (ç^), à l'exception des zéros de cette dernière fonction situés sur Taxe des quantités réelles, ne s'annule pas entre les deux parallèles à cet axe, menées à une T. et M. — III. 8

Il4 CALCUL INTÉGRAL.

distance de cet axe égale à t\ en sorte que les diverses déterminations de la fonction loer •^; { peuvent êlre définies comme des

fonctions holomorphes de v entre ces deux parallèles; choisissons celle des déterminations qui s'annule pour v = o. Dès lors la fonction log3|(ç'|T) sera définie pour tous les points situés entre les deux parallèles, excepté les points pour lesquels p est un nombre entier, sauf à regarder comme distincts les points de même affîxe qui sont situés sur des bords différents des deux coupures, allant sur Taxe réel de i à -f-oo et de o à — oo; à l'intérieur de la région limitée par les parallèles et les deux coupures, elle est holomorphe.

467. Occupons-nous d'abord du développement de la fonction log/((^). En posant (^ = a -|- pT, où a et p désignent des nombres réels, on aura

OÙ h désigne la valeur absolue de ^; on aura donc

si p est en valeur absolue plus petit que i, les quantités précédentes seront toutes deux plus petites que i ; donc, puisque la fonction

où le premier membre désigne la détermination principale de log(i — x), est une fonction holomorphe de x tant qu'on a I j: I < I , les fonctions de p

rz=o6

log(i — qtnc^îvni) — — X^ qînrg±irv'Ki^

log(i — iq^^ cosat^TT -+- ^*«) = — ^ - 7""' C0S2 rt'Tr

seront holomorphes tant que l'on aura | p | <^ i . La série

fl r= «8

/^ log(i — ay*'* cos'iVTw -{- y*'*),

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. Il5

en supposant qu'elle soit convergente, est évidemment une des déterminations de log/(^); la convergence de cette série et le fait que sa somme est une fonction holomorphe de v^ tant que l'on a |P|<i, seront établies à la fois (n° 37) si Ton prouve que la série double

X ^««rcosîrPTT (n, r = I, 2, 3, . . .)

est absolument et uniformément convergente tant que |^| est moindre qu'un nombre plus petit que i. Or on a

a C0S2rP7r = e^'**'^'-*- e-»''»''^' = g^f^ gîran/ | q-tr^ g-îran/

et, par suite,

I 2 cos2rp7u I < h^f? -+- h-*''?;

dès lors il suffît de prouver la convergence des séries à termes positifs

qui est évidente lorsque l'on a | p|<^i, puisque la somme de la première série, par exemple, est égale au logarithme de l'inverse du produit infini

TT(, — AK/i+p)).

Nous pouvons donc, en supposant | ^ | <^ i, définir log/((^), log "y comme des fonctions holomorphes de r parles égalités

log f(v) = — > - ûrî«r COS 2rt'7: = — > — i

r=to

° /(o) Jm^ ri^^ — q^'^)

et celte détermination de log Y( est bien celle qui s'annule pou

I l6 CALCLL INTÉGRAL.

468. Il suffit de remplacer log "^ par le développemeDt précédent, dans l'expression de logSTi (r) définie plus haut, pour avoir le développement de cette fonction en série trigonométrique.

il est clair que le procédé employé pour développer logS^i (i^) en série trigonométrique s'applique aussi bien aux trois autres fonctions ^{v)] nous réunissons ci-dessous les formules ^insi obtenues, qui peuvent être utiles dans diverses circonstances :

logSr, (p) = log - Sr;(o)-t- logsinTCP-i-^ ^ ^ (2 sin rr,v)

(CV

log2rj(i;) = log2r,(o) -+- log cosirp-f-^ 1(1^— g^n (^ sinrirp)»,

loga,(p) := loga,(o) + 2 r\i-X) (a.sinrrO»,

Si Ton suppose ç' mis sous la forme r = a + ^t, où a et p désignent des nombres réels, les deux premiers développements s»nt valables sous la condition | ^ | <; 1 , les deux derniers sous la condition I p I <; ^. On doit prendre pour log sin-r la fonction Is(ç'), pour logcosTwi^ la fonction \s{v -\- ^).

469. Ces formules fournissent immédiatement les développements des logarithmes des quotients des fonctions 2r et, par conséquent, des logarithmes des fonctions sn, en, dn et de leurs quotients; on a, par exemple,

log sn {'îKç) = 2log2rs(o) -h log sïmzv — N^ -- — - — ^7- (2 sinr-np)»,

r=<xt

<CV3) / logcn(2Kç^)=-'ogcos7rv-2 ^| , ^ (!L iw-^M ^^ ^'"^"^^^*'

lofîdn(2Kp) = — 7 : ^ — — [2 sin(2/' — O-ïrcl'

SOUS la condition | P | <C |«

On déduit aussi, par difTérentiation des formules obtenues pour les fonctions 2r(r), les développements

(CV4

— - — — smirTzv^

= — irtangrp-i-4ir ^ (— i)** —^ — ^ sinarirr

= 4"^(~l)^ |!ylr-^'"^^"^^

qui peuvent être différentiés à leur tour.

En se reportant aux formules (LXXVI2), (LXXIXi), on déduit de la dernière formule (CV^) la relation

(CV

rizx

Z(a:) — -rr > — - — r- sin — =7

pourvu que le coefficient de i dans — jt soit inférieur en valeur ab-

solue à ~.

470. Les formules (XXXIIIs.e), en prenant les logarithmes des deux membres, fournissent les développements

log 3* a = log — ^ -+- -^ T- log siQ h > — —-^^ T-T ( a sin

logC'lM =