TU COS

d'où Ton déduit aisément^ par dilTérentiatioD, des formules analogues pour les dérivées d'ordres quelconques de pw, p{u -+- cog). Si Ton suppose u mis sous la forme w = 2 a a>i -f- 2 ^0)3 , où a et ^ désignent les nombres réels, toutes ces formules sont valables sous la condition 1 P | <! i- Celles qui concernent logc^w, logeai u et leurs dérivées sont même valables sous la condition | ^ | < 1 •

On déduit immédiatement des développements obtenus pour les fonctions logrfw, logera?/, ceux qui concernent les douze fonctions logÇ(w); ces développements sont analogues à ceux que nous avons écrits pour les fonctions log sn ç, log en ç^ log dn r.

471. Les fonctions 2^ m, Z(^) peuvent servir d'éléments simples dans la décomposition des fonctions doublement périodiques de

première espèce à périodes atO|, 20)3 ou 2K, aïK'; les développements précédents (GV5), (CVI2) fourniront donc, pour toute fonction doublement périodique de première espèce, un développement en série trigonométrique. Le lecteur pourra appliquer cette méthode aux carrés des fonctions 5oa(w), 5ao(w), 5^y(w), ou encore aux carrés des fonctions sn, en, dn, de leurs inverses et de leurs quotients mutuels ; nous nous contenterons de citer la formule