VJ (V,{1) (V) (V,|A

donc

(CV117) '! ^'''

En nous plaçant dans le cas de la formule (CVIIi) du n® 479, on aura de même, en supposant que les valeurs absolues de x^ y

soient toutes deux comprises entre h et j et en désignant par /n, n

des entiers positifs quelconques,

r^^rtt \ ' ^'1 (O) 3^1 (t^ -+- W) . , , V^ ,„^ . /

iCVIIs) 1. ; /j. , — ~- = cotiTP -h cotTcw 4- 4 7 q^'*'"s\n(inT^v^im'Kw

Les quatorze autres formules (CVIIi^^) fournissent des développements analogues en séries trigonométriques à double entrée.

483. Il est aisé (*) de déduire, de chacun de ces seize dévelop-

(•) Voir Halphen, Fondions elliptiques, t. I, p. 438. T. et M. - III.

l3o CALCUL INTÉGItAL.

pemenls, des séries très rapidement convergenles et convenant, par suite, aux calculs numériques.

Plaçons-nous dans le cas de la formule (CVII7) du n** 482 et

groupons dans la série à double entrée \] q * x^y^^ qui figure

(V.JX)

dans son second membre, tous les termes pour lesquels la différence u — V des deux indices de sommation est égale au même nombre /?05//(/* ou nul, que nous désignerons par 25 puisqu^il est nécessairement pair. L'ensemble de ces termes sera représenté par la série

2^q^ arv^v-4-î. (v = i,3,5, ...);

l'ensemble des termes de la série à double entrée envisagée, pour lesquels [jl — v est un nombre pair quelconque positif ou nul, est donc

c'est-à-dire, en effectuant la sommation par rapport à s,