La formule (CVIIs) peut se transformer de diverses ma
mères en ajoutant aux arguments i^, sv les quantités -> - ou >
ce qui revient à multiplier :r ou j' par i^ y/y ou i^q.
Les changement de cette sorte que l'on peut faire subir à i»' ne demandent aucune précaution puisque iv est quelconque. De même quand on ajoute ^ à i^, il est clair que, les conditions
étant identiques, le domaine de convergence de la série n'est pas modifié par ce changement.
Il n'en est plus ainsi quand on change x en x^; pour que l'égalité (CVII3) reste valable après ce changement, il faut que l'on ait
v/S<Uv^|<-L,
c'est-à-dire
Supposant d'abord que x satisfasse à ces conditions, nous
allons remplacer, dans l'égalité (CVII|), x et y par ^sjq^ y ^q\ la modification à apporter au premier membre résulte des formules (XXXIVg.e) et l'on trouve
/t=: «e n = ee
p7(^)p7ÔÔ "^ ^ x^y-lqtn-l ~'^ JL i^ytqin '
La première série est convergente pourvu que l'on ait |^| < -r;
c'est la seconde série dont la convergence implique la condition |a:| >► I ; il est naturel, pour essayer de retrouver une expression analogue à celle de F(y, x^y), d'introduire dans le second membre la série
ûrï'»a7— ï« y— î
In
qui converge pourvu que Ton ait | ^ | >► A; en ajoutant et reIranchant cette quantité, le second membre prend la forme
/!=: «e nz=90 n = «
mais la dernière série se réduit à
Il = «0
2ix-^ X -\- x-^ jp-Sn = = — , | .
I — or-* a? — a?-*
on a donc finalement
Pi(^)Pi(7) x — x-^ y—y~'^
(CVIIi) I n=«o «=00
Cette égalité est démontrée sous la condition i <C\x\ <Ct; mais
les séries sont convergentes sous la condition A -< | :r | <^ t> et l'égalité subsiste si ces dernières conditions sont vérifiées, puisque les deux membres sont des fonctions analytiques de a:; on peut s'en convaincre encore en changeant x^ y en x^^^y'*^ ce qui change le signe des deux membres, et ce qui ramène la valeur absolue de a: à être comprise entre i et A, si elle était comprise
entre i et t • h
480. Rien n'empêche maintenant dans les deux égalités (CVIIi)
et (GVII3) de changer y en iy-^ys/qy iysj^j puis, dans les résultats, X en ix. Chacune de ces deux égalités en engendre ainsi sept autres; on a, en tout, seize égalités de même forme qui fournissent des développements pour toutes les quantités telles que
Pa(^7) /a = i,2,3,4
P^(^^ VMi.2,3,4
Nous réunissons dans le Tableau (CVII|) ceux qui se rapportent aux indices a = i,2; [3 = i,2; dans le Tableau (CVII2) ceux qui
se rapportent aux indices a = 3, 4; P= ii^; dans le Tableau (CVII3) ceux qui se rapportent aux indices a = i, 2 ; ^ = 3, 4; enfin dans le Tableau (CVII4) ceux qui se rapportent aux indices
Les formules (CVII|2) supposent /i<;|x|<; t> les formules (CVlIa^*) supposent \fh <; | a: | < — •
481. Si Ton remplace x tiy par e*''^', e^^', les seize développements précédents se transforment en seize développements pour toutes les quantités, telles que
on les trouvera sous les mêmes numéros (CVII|4) dans le Tableau des formules. Les deux égalités (CVlIi ) et (CVII3), par exemple, établies aux n'** 478 et 479, se transforment en
(GVIIi)
\ 2r;(o)^i(P-4-cc^) n &i(i'.)3r,(tv)
= cotTit' H- coliTW -h 4 7 Q^^ : 1 >
^id ^ 1 — •2<7*'» COSlItiV -h </*'»
I &',(o)ar,(» + «<) 41: %{v)'3,{w)
(cvn,)
sin 1(2/1 — I) •;
1 — 2 ^*'*— ï COS 2 TT W -+- ^*'*~*
ir^ — l — sin f(2/i — \)tzv -t-irtv] — y*«-ï sin [(2/1 — i)irp — iriv]
La condition A < | ^ I -< t équivaut manifestement à la condition
OÙ le symbole S{. placé devant une quantité signifie que l'on doit envisager la partie réelle seulement de cette quantité. De même,
la condition ^h < | j; | < — équivaut à la condition
Si l'on pose r = a 4- ^t, en désignant par a et ^ deux nombres réels, on peut dire aussi que les formules (CVII|2) ont lieu sous la condition | ^ | <C i et les formules (GVIl3 4) sous la condition
lM<-i-
482. Nous allons maintenant supposer que la variable y vérifie les conditions h<,\y\<ij dans les formules (CVII|,j|), les conditions y/Â < |y I <C — dans les formules (CVIl2,3).
Plaçons-nous, par exemple, dans le cas de la formule (CVII2); en supposant que les valeurs absolues de x^ y soient toutes deux
comprises entre \Jh et -7^» et en désignant par jjl, v des nombres impairs positifs quelconques, on aura
