IV

v^r-* I — q'^jr

ce que Ton peut écrire, en groupant convenablement les termes,

I Sr*, (o)2ri(t'-h wp) "^ jV« sinv7r(r -\- w) — q"* sin [vTrty -+- (y — 2)rt>]

— 2, Q^ sinv7t(p -h tv,^

-v« sinv'i:(i' -4- iv) — 7' smffv — •2)tm' -f. vTrcl

I — -jt (/^ cos 'i.T^w -^ q

Findice v prend toutes les valeurs impaires positives.

On a de même, en se plaçant au point de vue de la formule (CVII5) du n" 482,

I 3", (o)3ri(r -4- iv) ^ , . / . .

— ^J ' — -fi = cotTit' -r- colircp — 4 7 q^'^ s\i\ 'in -ni V -^ w)

, ^ , sin 2 n 7: ( t' -h w) — 7'" sin \('X n — 9.) -tî f h- 2 n t cv ]

Jmà I — 2 7''* COS2 7:t^ -H ûr^'*

, V' ,.., sin2n7:(p -\- w) — 7*'* sin \(7.n — 'i\t.w -^inr.v] l J > qtn'i i 2 ! L •

I — 27*'* cos 211 IV -\- q^'*

rindice n prend toutes les valeurs entières positives, non nulles. Les expressions des premiers membres des seize formules (CVIIs.g) fournissent des développements analogues. Tous ces développements convergent quels que soient i^ et (r, et convergent très rapidement.

484. Nous avons obtenu, dans les numéros précédents, le développement de chacune des seize fonctions

l32 CALCUL INTÉGRAL.

SOUS trois formes différentes. Si, dans chacun de ces développements, on donne à Tune des variables p, w des valeurs particulières convenablement choisies, on obtient des expressions très remarquables pour les quotients des fonctions 3, les inverses des fonctions 3, les inverses de leurs carrés, les inverses de leurs produits deux à deux; c'est de ces développements que nous allons dire quelques mots.

Au mojen des développements des quatre fonctions

2ra(i')2ri(iv)

on obtient aisément, en faisant tendre w vers o, les expressions

des dérivées logarithmiques ^ de chacune des fonctions ^{y^

sous la forme déjà obtenue au n** 469 et aussi sous d'autres formes remarquables. Ainsi, en observant que l'on a

lim < ->L~— V — ëT-; : COtTlP — COtlTlV '

tv=o(ir3ri(p) 2r,(iv) \

les formules concernant la fonction ct-t— tst— ^v fournissent les trois développements

- ^l(p) ^ Jid I —

n = 00 n = ao

, v^ . .sinsinTrt' — <7"»sin(2n — 2)t:p ^^ ûfîndu-t)

dont le premier nous est connu, dont le second est une conséquence immédiate du premier, mais dont le troisième est un développement bien différent qui converge beaucoup plus rapidement que le premier. On obtient enfin un quatrième développement pour la même fonction en faisant tendre v vers o dans la

formule (CVIIi) du n° 481 ; en remplaçant ensuite w par v on a

n— ao

- ^\ ' = COlTCt' -+- 4 sinaTTP > r— -^ rri

rt — 1

Il présente cette particularité que la série qui y figure est toujours convergente, pourvu que i^ ne soit pas un zéro de 3^i(^)j et conserve la même valeur quand on y remplace q par ^r"*, tandis que le premier membre n'a aucune signification quand la valeur absolue de q est supérieure à i . Les développements de cette nature figureront dans le Tableau des formules (GV).

485. Les développements de celles des seize fonctions q,, ,e>./ \

où rindice de ^(w) au dénominateur n'est pas égal à i, fournissent chacun, si Ton y fait w = o, trois développements des douze quotients

^aiv)

(X = 1,2, 3,4; îx = 2, 3,4);

on obtient aussi, pour chacun de ces douze quotients, un quatrième développement en faisant r == o dans les développements

de celles des seize fonctions ^- — et—, où l'indice de 3(^) au dé-

nominateur n'est pas égal à i, et en remplaçant iv par ç. Â.insi les

formules qui se rapportent à la fonction e^ !\r^ , t fournissent les développements

T- o> / X Q> , = 7 — ^ — ; — ; sin(2/i — i)7rp= > q^ %\\

« = l (JA.VJ

7» ^ ^^ 2 h > sinvr

^ I — 2 7^COS2 7lP-+-7*V J^i — q"*

tvJ Iv)