Considérons encore l'intégrale rectiligne

où t'o est un point situé sur le côté inférieur du rectangle R qui va du point — ; au point — ^— •

Supposons d'abord que la partie réelle de Tq, que nous désignerons par a, soit positive; le chemin d'intégration ne rencontrant alors pas la coupure, on aura

Le second membre est Tune des déterminations du logarithme de

2r,(i>o) il est donc égal à la quantité

:^ g — llTCi'o-l-lTr — ITTT .

— 2 «TU (a — - J -f- ti: — iizz — /7c(i — la)

augmentée d'un certain nombre entier de fois 2/7:. D'ailleurs, l'argument de ^i(vo) est compris entre o et — -; l'argument de ^1(^0 -h")? égal et de signe contraire au précédent, est compris

(') C'est à M. llermitc que l'on doit la détermination des intégrales de ce type et du type suivant. (Voir la Note insérée dans le tome II du Calcul différentiel et intégral de J.-A. Serret, p. 887.) Il est à peine utile de faire observer ({ue les déterminations obtenues dans les n*** 512-516 sont contenues comme cas particulier dans la formule générale donnée dans le précédent paragraphe.

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l65

tîntre o et-; le coefficient de i dans log&« ((^o4- t) — log2r«(t'o) est donc positif et compris entre o et -tt; c'est donc 7:(i — aa).

Si, au contraire, la partie réelle de Vq^ que nous continuerons de désigner par a, est négative, le chemin d'intégration rencontre la coupure au point a en allant de bas en haut, et Ton aura

Dans ce cas encore, logSi (to-I-t) — log3|(i'o) est égal à iTz(i — aa) augmenté d'un certain nombre de fois atTi; d'ailleurs

l'argument de 2r< (po) est compris entre et — -ït, et celui de

3^1 (^0 H- '^) est compris entre - et ir ; le coefficient de i dans la

difi*érence des logarithmes est compris entre i: et a?:; c'est donc encore 11(1 — aa) et Ton a, par conséquent, suivant que a est positif ou négatif,

**• On a, en particulier,