Considérons, par exemple, l'intégrale rectiligne
où ('o est un point du segment de droite qui va du point -
au point — ^ — -y à l'exclusion du seul point — --Le chemin d'inlégration ne traversant pas la coupure, on aura
dv r^ log&i(Po-^i)— log3r,(pjj):
les deux nombres 2r|((>o+0» ^<(^o) sont réels, égaux et de signes contraires ; suivant que le coefficient de /dans v^ est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que le point Po est situé sur
l'un ou l'autre des segments qui vont du point aux points
^-9 y l'argument de Si (t'o) est -i- tt ou — i: ; d'ailleurs
l'argument du nombre positif S^i {vq-\- i) est nul; on aura donc, suivant que le coefficient de e dans k\ est positif ou négatif,
(GXVIII,) / ^4rv ^^ - : T^i-
513. Les deux résultats contenus dans la dernière formule peuvent être reliés l'un à l'autre par le théorème de Cauchy qui permet plus généralement de déduire toutes les intégrales de la
forme / rj , [dv de l'une d'entre elles.
Soient, en effet, Cq? <^o deux points quelconques tels que les parallèles à l'axe des quantités réelles menées par ces points, et le segment de droite joignant ces deux points ne contiennent aucun zéro de la fonction 2»i(^). Soit Vq celui des deux points situés le
INTÉGRALES DBS FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l63
plus bas ; considérons alors le parallélogramme dont les sommets sont Çq, i^o+i) t^o4-i, <Voi en parcourant ce parallélogramme, de manière à rencontrer les sommets dans Tordre indiqué, on le parcourra dans le sens direct. Si  est un point quelconque du segment qui joint les points Vq^ Wq; si B est le point d'intersection du segment qui joint les points i^o "H ' > <^o + i et de la pa-
rallèle à Taxe des quantités réelles menée par A, la fonction rJ prend les mêmes valeurs en A et en B; il résulte de là que l'intégrale / ^^ d\^, étendue au périmètre du parallélogramme, est égale à la différence des intégrales rectilignes
D'un autre côté, l'intégrale étendue au parallélogramme est égale à 2{ir multiplié par la somme des résidus de la fonction
gs\ , relatifs aux pôles de cette fonction situés à l'intérieur du
parallélogramme, c'est-à-dire par le nombre de zéros de la fonction Si(^) situés à l'intérieur du parallélogramme, nombre qui est évidemment égal au nombre n de zéros de la même fonction situés sur l'axe des quantités purement imaginaires entre les deux parallèles à l'axe des quantités réelles menées parles points i^Oî^^o- En appliquant l'égalité ainsi obtenue,
an cas où Tq est un point quelconque du côté du rectangle (R) qui joint les deux points h-» ♦ autre que le point »
J * 22 '2-2 Tr 2
et en tenant compte du résultat du n** 512 relatif à la valeur de l'intégrale du second membre pour ce choix de Tq, on obtient aisément le théorème suivant qui comprend celui du n** 512, comme cas particulier :
Si Ton a en désignant par a et j3 des nombres réels, dont le second n'est
l64 CALCUL INTÉGRAL.
pas entier, et si Ton détermine l'entier n par la condition on aura ( ' )
