Considérons, par exemple, l'intégrale rectiligne

où i^o est maintenant un point quelconque, tel toutefois que la partie réelle de i^o ne soit pas un nombre entier, afin que la droite qui passe par les points i^o? i^o-^-'^ï^e contienne aucun zéro de 2ri(v). La position de cette droite, qui est limitée aux points Vo et Vo-\- T, empiète en général sur deux rectangles du réseau.

Posons i^o = m -{- ri'z -\- CL -^ ^x, en désignant par m, ai, a, ^ des nombres réels dont les deux premiers sont entiers, et dont les deux autres vérifient les conditions

On aura, en entendant que le signe d'intégration porte toujours sur la même quantité . j

T '^m-f-(/i-*-l)T-ha-»-pT f wi-h«T + a-f-- / «,^(n-t-l)T-i-a-t-pT

•/m+nT + a + pT «^m + nT + a + PT '^m^.„x+a+-

remplaçons, dans les intégrales du second membre, la variable d'intégration v par /?i-h/iT + (v pour la première, et par m -h(/i -{- i)t -h iv pour la seconde. Le second membre deviendra

= / ~f^— — - dw — 2 ( n - - B - - xiTZ-z.

L'iutégrale qui figure encore dans le second membre de cette équation a été calculée au n®514; elle est égale à — aai:/ ±:7r/, en prenant le signe -f- ou le signe — suivant que a est positif ou négatif; on en conclut

(CXVIIU) J ^rfç. = -2.-u(.„--m-:-^zp-j

On déduira de là, en désignant par r un entier positif,

(CXVlIIe) r* ^^^di^= — 2rirJi^o~m^^±-). A ^i(^) V a a/

Dans ces deux formules, on doit prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que la partie réelle de t^o — ^ est positive ou négative.

517. Considérons enfin les intégrales rectilignes du type assez fréquent dans les applications

où a et p sont des nombres réels dont le premier n^est pas entier. Une telle intégrale est un nombre purement imaginaire ; elle est, en effet, le produit par t de l'intégrale

où la variable d'intégration x est réelle, et dont tous les éléments sont réels, puisque les nombres a + xt, a — X'z sont des imaginaires conjuguées.

Supposons, ce qui est toujours permis, que ^ soit positif, el déterminons deux entiers m, n tels que si l'on pose

a = m -f- a', |J = /< -h p', on ait

On observera tout d'abord que la fonction srr— r ne changreant pas quand on change v en v -^ m, on a

on a d'ailleurs

l68 CALCUL INTÉGRAL.

toutes les intégrales portant sur la même quantité ^~ — • On en conclut, en appliquant les résultats précédemment obtenus,

(CXVIII,) / i4f/^^= / |^rfi^-2m^(9.a'-i),

où l'on doit prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que a' est positif ou négatif. Quant à l'intégrale qui subsiste dans le second membre, il est aisé de reconnaître qu'elle est égale

à la détermination principale de log^*^ , q, : : la partie réelle

est nulle ; le coefficient de «, compris entre — it et -h t: est positif si a' et j3' sont de même signe, négatif dans le cas contraire, nul pour les valeurs particulières a'=: db 1.

ON DONNE A' OU g^, g^; TROUVER T OU W|, Wj. 169

INVERSION