CHAPITRE VII

ON DONNE A* OU ^„ ^3; TROUVER 1 OU w,, w^.

I. — Le problème posé admet une solution et de cette solution

on peut déduire toutes les autres.

518. Dans ce qui précède on a toujours regardé les nombres (0| , 0)3 comme donnés : sur ces deux nombres on a supposé seulement

que le coefficient de /dans le rapport t = — est différent de zéro,

et même positif toutes les fois qu'interviennent les fonctions 2r. C'est avec ces nombres to<, Wj que nous avons construit toutes les quantités ou fonctions que représentent les symboles g^i gs, (^(«/[(o,, W3), Ç(«£|cO|, (03), p(«jto,,W3), ei, ^2, ^3, Tr||,r,„r,3,

\/ei — e^. ... ; c'est avec leur rapport t que se construisent les quantités et les fonctions q^ A-, A*', 2r(ç>), K, R', sn«, . . ., qui sont toutes déterminées sans ambiguïté.

11 y aura lieu souvent, dans ce qui suit, de metlre en évidence les nombres w < , (O3 , t. Nous écrirons alors ^2 (tO| , tog ), ^3 (w< , C03),

Hj), f^(^), vICÔ. V'^^. ï^(^)> K.'(-), au lieu de g,, g„ k, k', ^k, y/A*', K, K'. Nous continuerons à écrire 2r(('|T) au lieu de â(^>) et nous écrirons aussi, dans le présent Chapitre, sn(tt|T), cn(w|T), dn(tt|T), pour désigner les fonctions de u et de t définies par les relations (LXXl3^o,7,8? XXXVni^2)> au lieu de sn(tt, A"), cn(w,X:), dn(tt,Â:), notation que, afin de nous conformer à l'usage, nous avons introduite au n** 301.

Dans les problèmes qui dépendent des fonctions elliptiques ce n'est cependant pas les nombres (0|, (03 ou t qui sont immédiatement donnés. La solution de ces problèmes se ramène à l'intégration de l'équation différentielle

\du) ~

où u désigne la variable, y la fonction inconnue et ya» Y« ^®^ nombres donnés, tels que l'équation 4^' — y»^ — Y3=o n'ait pas de racines égales.

On obtiendra une solution de cette équation si l'on connaît deux nombres ajf, 0)3 à rapport imaginaire, tels que les quantités 0^2 ((o,, w.,), ^3(wi, W3), définies par les séries (IV5)

<Ç'i(wi,tos) = 60 ^

(imtoi-h 2nw3)*

gii^u^»)= i4o 2

(2mWiH- 2/lU>8)*

aient les valeurs données Y2) Y^* ^^^^^ solution sera la fonction p(u\(ùi , (03) formée au moyen de la variable u et des nombres tOi , (1)3 comme il a été expliqué aux n°' 86-88; on a, en effet,démontré au n** 98 qu'une telle fonction vérifie l'équation différentielle

et 5^2(^1, (O3), ^3(^1, (O3) sont respectivement égaux à Y2» Y'*

Les mêmes problèmes dépendent, si l'on veut, de l'intégration de l'équation difiérentielle

OÙ X est un nombre donné différant de o et de 1. On obtiendra une solution de cette équation si l'on connaît un nombre imaginaire T, dans lequel le coefficient de i soit positif, et tel que la quantité k^{-z), définie par la formule (XXXVlIi)

*^ XTZi

ON DONNE k^ OU ^j, gi\ TROCVKR T OU Ck)|, 0)3. I7I

ait la valeur donnée x. Cette solution sera la fonction sn(£/|T) formée au moyen de la variable u et du nombre t de la manière suivante : on construit d'abord (XXXII) les fonctions 2r(ç>|T) de la variable indépendante i' et de t; on forme ensuite (XXXVII|,2> LXXI3) les quantités

et l'on pose enCn (LXXIo)

sn(M|T) =

En effet, d'après ce que l'on a vu aux n"* 301-306, la fonction de u ainsi formée, qui est identique à la fonction sn(f/, k) définie au n**301, doit vérifier l'équation différentielle (LXX|)

et k^^{'z) est égal à x.

On voit, dès lors, se poser les problèmes suivants :

Quand on se donne les nombres Y2j Ys ou x, existe-t-il deux nombres à rapport imaginaire t^t^ (03, ou un nombre imaginaire T dans lequel le coefficient de i soit positif, qui vérifient respectivement les équations

gi{^u ^z) = ïi» gzi^u W3) = Yî, ou

Quelles sont toutes les solutions de ces équations ou W|, w» owz sont les inconnues?