CXXI3) ^' = 2'"V

OÙ l'on sait que tous les coefficients S,, sont rationnels et positifs, et que Ton a

On trouve sans peine

Oo=i, oi = 2, 0j=i5, Oj=i5o, ...;

en raisonnant d'ailleurs comine tout à Theure, on reconnaît qu'en

prenant, pour calculer (p ^ un, deux, Irois, quatre termes, on commet des erreurs respectivement moindres en valeur absolue que

•jr^ ' ' 16' ^ ' 512' '^ ' ' 4096'^ '

5So. Le procédé que nous avons indiqué pour calculer 5o, S|, 82, 83, . . . n'est pas le seul qu'on puisse suivre :

Reportons-nous, en effet, à la première des relations (CXIX4) que Ton peut écrire

Nous savons qu'il existe une série entière en iJHl, savoir

qui, mise à la place de q'^ dans l'égalité précédente, la transforme en une identité; en égalant dans les deux membres lescoefGcients

qui permettent de calculer de proche en proche les coefficients ôo, 8|, 82, .... C'est ce procédé qui met en évidence, par une généralisation immédiate d'un théorème célèbre d'Eisenstein, ce fait intéressant que les coefficients 8,^ sont des nombres entiers (*).

^aW"''

(*) Voici, avec les petites modincations nécessaires ici, le résumé de la démonstration du théorème d'Eisenstein, d'après M. Hermite {Cours autographié de la Sorbonne).

Supposons que y soit lié à x par la relation

où I, y peuvent prendre toutes les valeurs entières positives ou nulles, où 1rs coefûcients A,, .sont des constantes parmi lesquelles A^^ et Ao » sont nulles; sup-

ON DONNK A* OU ^j, ^3', TROUVER T OU (u,, Wj. 221

556. Nous allons maintenant donner une série entière qui permet le calcul de q dans tous les cas.

La relation (CXXI3)

posons qu*on puisse satisfaire ideatiqucment à celte équation en remplaçant y par une série entière en x de la forme

(2 ) j>' = X (a^-f- a, J7 -h a.JT^H-. . .4- 2„a:"H-. . .)»

les coefficients a^, a,, ..., a„, ... seront des fonctions entières à coefficients entiers des coefficients A. ., en sorte que, si ces derniers sont des nombres entiers, il en sera de même des coefficients a„. Soit, en effet, en désignant par p un entier positif et en supposant en général

il est clair que «^ sera une fonction entière à coefficients entiers de a„ a,, ..., a^ indépendante de a^^,, a^^,, ....; en substituant dans l'équation (1), il vient

par suite, si Ton fait m -4- i = i -h y -f- /i, et que l'on égale dans les deux membres les coefficients de a?"^', il viendra

sous le signe \ du second membre, y doit être au moins égal à i ; par suite, le

premier indice m -h i — i—j est au plus égal à m; il n'atteint cette valeur que pour i = o, y = i; mais, par hypothèse, A„ , est nul; il n'y a donc pas, dans le second membre, de terme en a^ , = a^, et les termes en a^^,j.. ^. qui y figurent sont des fonctions entières à coefficients entiers de a^, ai, ..., a^, ; si donc ces quantités sont des fonctions entières à coefficients entiers des A,- y, il en sera de même de a^; or, on a a^, = A, „ a, = A, ^a„-h A^ ^ a^ ,-i- A^ „, La proposition

est évidente. Elle s'applique au cas actuel en supposant x = - — >7= yd et en

prenant la première des équations (CXIXt) et l'équation (CXXIj) pour les équations (i) et (2).

M. Hermite s'est occupé récemment des séries (CXXI^ ,) et de quelques autres. {Bulletin de la Société physico-mathématique de Kasan, série II, tome VI.) Entre autres résultats, il établit le caractère rationnel et positif des nombres C„, au moyen de la transformation de Landen,ct montre que les nombres 2*" C„ sont entiers; le caractère entier des nombres 5^ en résulte. L'illustre géomètre donne, d'après M. Tisserand, les valeurs des douze premiers nombres 2*"C^et en signale de curieuses propriétés arithmétiques.

suppose |x|<i; si cette condition est vérifiée, elle peut, en

supposant q^=e *'''', être regardée comme une identité en x. Si, en regardant pour un instant t comme la variable indépendante,

on suppose -. réel et positif et si l'on détermine x par la condition

4/- r: 3'î^o|'c) 9.<7* -h 27* -h aor * -h... .

{/x = y^ki^-z) = rj , -\ = — T-, > y = ^^'^^î

la valeur de x sera manifestement réelle, positive, plus petite que I, on aura d'ailleurs (n^ 550)

£xïx)^ x(x) •'

et, par suite, pour toutes les valeurs de t considérées.

Si dans cette identité on change t en 4"^? on aura, pour les mêmes valeurs de t,

et, par conséquent, pour toutes les valeurs de x réelles, positives et inférieures à un,

t;ii posant, comme on l'a fait au n" 529,

L'avanl-dernièrc égalité, établie pour toutes les valeurs de x qu'on a spécifiées, subsiste tant que les deux membres sont des fonctions holomorphes de x, c'est-à-dire dans tout le plan (g) : on

ON DONNE k^ OU ^,, gz; TROUVBR T OU Wi, Wj. 2^3

pourra donc, au moins théoriquement, calculer q dans tous les cas par la formule

n = co

(cxxu) y = S^'d)*"^''

557. Nous allons montrer qu'on peut toujours s'arranger pour que la série qui figure dans le second membre de la formule (CXXI4) soit très convergente et que, en même temps, q soit petit.

La chose apparaît clairement quand les données sont les nombres Y2» Ya» On peut, en effet, supposer les racines e^, £2, £3 rangées dans un ordre tel que les quantités \z\ — £3 1, | £| — £3 |, | £2 — £3 1, soient rangées par ordre de grandeur décroissante, c'est-à-dire supposer que Ton a |x|^|i — x|^i\ ou encore que le point x appartient à la région (GOC1D0); il suffira pour cela, après avoir figuré le triangle formé par les trois points £|, £0, £3, de placer £2 au sommet qui réunit les deux plus petits côtés, £« au sommet qui réunit les deux plus grands.

Pour nous rendre compte de la rapidité de la convergence de la série envisagée, lorsque x appartient à la région (CoC|Do) ou à sa limite, nous chercherons d'abord à déterminer le maximum de I p|. Cette dernière quantité n'est autre chose que le rapport

(les distances du point \/i — x aux points i et — i; quand le

point X reste dans la région (GoCiDo), le point ^ i — x reste dans une région qui est limitée par la courbe que décrit le point

y/i — X quand x décrit la limite de la région (CqCiDo) : cette limite se compose de deux parties, d'une part Tare du cercle C|, compris à l'intérieur du cercle Co, qui va, en passant par le

7C / TZi

point o, du point e * au point e *, et, d'autre part, la portion de la droite D qui s'étend d'un de ces points à l'autre. Quand le point X décrit la première partie, le point i — x reste sur le

cercle Cq et le point ^ \ — x décrit le petit arc du cercle Co com-

Tt /■ 1t /

pris entre les points e ** et e*'^ ; quand le point x décrit la seconde partie, le point ^' \ — x décrit un arc de courbe qu'il est aisé de

IZl TZ l

construire et qui relie les deux points e ", e'^; une étude

sommaire de celle portion de courbe montre (*) qu'elle est comprise tout entière à l'intérieur du cercle C'qui est orthogonal au