I -h i/ » — >ti

la valeur maximum de tang - correspond à la valeur limite

^= -; on s'en approche indéfiniment quand le point M s'approche indéfiniment du point L, car alors le point Q s'approche du point — I ; il n'est pas difficile de reconnaître que la valeur

limite de - est e * = 0,2078.. .; il nous suffira de remarquer que, dans tous les cas, tang^ est inférieure à tang^' =y/2— i =o,4i4--

ON DONNB k' OU g^y g^\ TROUVER T OU W|, (1)3. 24 1

et que la somme de la série N^5,|(- lang - j est inférieure à

0,21 comme on le reconnaît de suite en se bornant au premier terme. Par conséquent, le nombre réel et positif- sera inférieur à j^y et la rapide convergence des séries est encore assurée.

568. Connaissant Q, on appliquera les diverses formules établies aux n"* 561 à 563, pour une transformation linéaire quelconque, dans le cas 111, en ayant soin de prendre le signe inférieur partout où il y a un double signe. Ces formules ont été reproduites dans le Tableau (CXXV) que Ton trouvera à la fin de l'Ouvrage.

On voit d'abord que û| et Hi seront réels; on a en effet (n** 563)

CO, r^ ûl — Û3, 7), — U, — Ils,

t»>3= Û3, ^<3== HS»

et (!>,, 0)3 sont imaginaires conjugués, ainsi que r^j, t,3 (n° 566). La réalité de û| n'apparaît pas sur la formule (CXXIIe)

û = x(-^i) ^ -H ^KoIt) ^ 2 ^(oiT) ^ TU 2r|(o|T) .

v/e, - K3 ^ v/k, - E3 '^ v/x v/e, - E3 '^ ,T ^^Jï '

mais il est aisé de transformer cette formule en partant de ce que û, est réel et même positif (n° 565). La racine carrée de û| étant

réelle, il en est de même du quotient de 2i3(o|t) par e* (/x; ce quotient ne change donc pas quand on y change i en — /; mais alors, puisque Q est purement imaginaire, 2r3(o|T) se change en 34(o|t), comme on le voit par les formules (XXXVli); d'ailleurs y/x se change en y i — x; on a donc

^3(o|t) ^Uo|t) 3r3(o[T)-i- 2^4(0 |t) 2ar3(o|4T)

la dernière égalité résultant de la formule (XL|) ; finalement, on a

air^JCol 4t)

ûi =

T. et M. — III. 16

Sous cette forme, on voit bien que û| est réel et positif, puisque le numérateur est réel et positif, ainsi que le dénominateur, qui

est le produit du nombre réel et positif y/2B par le carré de la somme de deux nombres imaginaires conjugués. On choisira pour

y/û| la détermination arithmétique.

De la formule

rlZi —^

Q = tf^'^-=.. tf x(X,),

on déduit, en donnant au logarithme sa détermination principale

d'où

Q 2 " 2Ûi l

puisque - est un nombre réel et positif, log- est aussi un nombre réel et positif; cette formule fournit donc un moyen simple de calculer le nombre — ^. — - et par suite Û3. On avait déjà démon-

tré au n" Doo que ce nombre, qui n est autre que —. — -, était

réel et positif.

Il convient aussi d'observer relativement à la quantité y/p qui

figure dans les séries S, qu'en adoptant pour i/-. la détermination réelle et positive, on doit supposer (XXVIII3)

TCI

/q rrr i / -. e «

Les autres formules du Tableau (GXXV) s'entendent d'ellesmêmes.

569. Lorsque A est positif on pourrait calculer ^^ pi, Q par la

même méthode; A serait alors négatif, ainsi que 2l, ?; dans le cal-

cul précédent, les résultats finaux devraient donc être modifiés. Nous allons indiquer une marche un peu différente qui permet d'obtenir des nombres analogues, mais positifs.

Observons d'abord que la /Ig, 3 convient encore au cas actuel.

ON DONNE k^ OU ^',, ^j; TROUVER T OU Wi, Wj. 243

mais en Finterprétant autrement. On regardera le point M' comme figurant x et le point M comme figurant i — x; les points P, Q',

P', O représentent alors -> , » Les points P et O'

sont sur le cercle C|, c'est l'un d'eux qu'il faut prendre pour X| ; nous choisirons encore le point Q', et nous désignerons maintenant par — 2cp l'argument de i — x,, cp étant un nombre po-

sitif compris entre o et -; on aura alors tangtp = — au lieu de

tangij/ = ^ ; en sorte que si Ton convenait de regarder if comme

un angle positif, plus petit que 7t, défini toujours par cette dernière ôgalité, © serait égal à t — if.

Le calcul de Pi,Q, y/Q, û|, û^ se fait exactement comme dans le cas précédent, si ce n'est que ij doit partout être remplacé par cp.

On a fait la transformation du cas IV, x, = ^ Comme le point x

est au-dessus de l'axe des quantités réelles, on a

0)3 =r — Û, -f- Û8, T^3 = — Hi -h H3 ;

ûi et Hj sont alors purement imaginaires; -4 est négatif (n" 565).

Une transformation toute semblable à celle du cas précédent permet d'ailleurs de mettre û| i sous la forme suivante, qui met en évidence le caractère réel et positif de ce nombre,