XXXVI

564. Il y a, dans la pratique, deux cas particulièrement intéressants : celui où les trois nombres ei, £2, £3 sont réels et celui où, Tun de ces nombres étant réel, les deux autres sont imaginaires conjugués. Dans ces deux cas ya et ys sont réels; inversement, si Y2 et Ys sont réels, on est nécessairement dans l'un de ces deux cas.

Dans le premier, x est réel et, s'il est compris entre o et i , X et x' sont réels, positifs; il en est de même de y, qui est, en outre,

plus petit que i. Si x est compris entre o et-> on sera dans le

cas I, el l'on appliquera donc les formules du Tableau (CXXII) dans ce cas I. Comme on a

pi- '"^. ,, = 0,086427 < —, çr <e-it<o, 043215 < —,

les séries seront très convergentes. Si x est compris entre - et i, on sera dans le cas V; on posera donc

et Ton appliquera les formules du Tableau (CXXII) dans ce cas V.

On peut toujours supposer qu'on soit dans un de ces deux cas, en rangeant e,, £3? ^3 dans un ordre convenable (n®557); cet ordre revient ici à prendre soit £1^ £2 > £3, soit £3^ £2 > £|. Nous conviendrons de faire toujours la première de ces deux hypothèses. Le lecteur trouvera, dans les Tableaux de formules (CXXIII) et (CXXIV) placés à la fin de l'Ouvrage, la reproduction des formules ainsi obtenues qui sont d'un usage fréquent; les quantités réelles et positives y sont mises en évidence.

Toutefois, en adoptant les conventions du n° 545, on peut traiter aussi le cas où x étant réel est positif et plus grand que i, ou bien est négatif. Si Ton a 2 >> y. > i , on est dans le cas VI; mais.

ON DONNE X:* OU g^y gz't TROUVER T OU G),, W,. 287

comme on l'a fait observer, la convergence des séries est la même dans les cas V et VI; rien n'empêchera donc d'adopter la transformation du cas V : pour cette dernière transformation, ^o et Q seront négatifs. Si Ton a x > 2, on est dans le cas 111; on adoptera alors la transformation de ce cas 111, ^0 et Q seront réels et positifs. Supposons enfin que x soit négatif; si l'on a — i < x < o, on sera dans le cas II et l'on appliquera la transformation du cas I; on posera Xq = x ; ^0 et Q seront négatifs ; si, enfin, on a x <; — 1 , on appliquera la transformation du cas IV; ^o etQ seront positifs.

565. Si, Y2 et Y3 étant réels, deux des nombres £|, £2, £3 sont imaginaires, on prendra pour £2 la racine réelle et pour £| = A 4- Bi celle des deux racines pour laquelle le coefficient de i est positif; on aura alors £3 = A — Bi, €2 = — a A, et, par suite,

La partie réelle de x étant -1 xet i — x seront des imaginaires

conjuguées; de même X et x', de même encore a>i et 0)3 : on a, en effet,

donc

xCx)<î ~ x'(x)f ^

Wi = p= y t03 — — = —

^28 yiVL

On peut fixer (n** 520) pour ^t^ — £3 celle des deux déterminalions du radical que l'on veut; il en est dons de même de v/^B; on prendra sa détermination arithmétique. Si l'on se reporte maintenant aux remarques qui ont été faites au n° 523 sur la position des points X, x', on reconnaît de suite que les droites que l'on désignait alors par OA, OA'font avec l'axe des quantités positives, dans le cas actuel où x est situé sur la droite D, des angles

moindres que -y et l'on voit ainsi que l'argument de x(x) est

compris entre o et 7 si A est positif, entre o et — 7 si A est négatif ; dans le premier cas, l'argument de cj| est compris entre o

et — -, dans le second entre — 7 et ; dans les deux cas, la

partie réelle de Wi est positive, le coefficient de i est négatif. Ce coefficient est, en valeur absolue, plus petit que la partie réelle dans le premier cas, plus grand dans le second.

Les nombres a>i et 0)3 étant imaginaires conjugués et ya, yj réels, Tj« =J^(a)«;Y2,Y3) et 713 = 2^(0)3; ya» Ys) sont aussi imaginaires conjuguas.

566. Pour effectuer les calculs on n'a qu'à appliquer les Tableaux précédents. Mais on peut aussi suivre une autre marche particulièrement avantageuse dans le cas actuel.

Observons d'abord que, le point x étant sur la droite D, les cinq

points > -9 > I — X, seront sur la circonférence du

cercle C©, sur celle du cercle Ci, ou sur la droite D elle-même, comme il résulte du Tableau du n° 369. Si nous désignons par x, l'un de ces points situés sur la circonférence du cercle G|, le point 1 — X| sera situé sur la circonférence du cercle Cq ; il en sera donc

de même du point [/i — X|, et, par suite, la quantité

I — v^i — xt

-^^1 — Xi

sera purement imaginaire; mais alors la quantité Q, définie comme étant la somme de la série convergente (CXXI4),

sera elle aussi purement imaginaire. L'avantage qu'il y aàcalculer avec des quantités purement imaginaires pour former les diverses constantes dont on a besoin et les fonctions 2r est évident; il sera d'ailleurs aisé, une fois ces constantes et ces fonctions auxiliaires connues, de passer au moyen des transformations linéaires, aussi facilement que dans le cas général où le point transformé était toujours dans la région (CoC|Do), aux constantes et fonctions qu'il s'agit finalement d'obtenir. Toutefois, comme le point Xi n'est plus nécessairement dans la région (CoCj Dq), on pourrait craindre que la convergence de la série qui définit Q au moyen de pi ne fût plus très rapide; nous montrerons qu'elle est encore bien suffisante pour les besoins des calculs numériques.

OK DORNB k^ OU gj, g,; TROUVER r OU U,, U]. sSq

567. Il est nécessaire de distinguer le cas où le point x est audessous de l'axe des quanlilés réelles, et celui où il est au-dessus. Dans le premier cas, A est négatif, Ej et, par suite fj, est positif; dans le second cas, ej et -j-i sont négatifs.

Supposons d'abord que nous soyons dans le premier cas. Les points O, 1, L de WJig. 3 représentent respectivement les points o, I, - du plan (G). On a figuré les deux cercles Co, Ci qui se coupent en E, E'; la droite D n'est autre chose que la droite EË'. Soit M le point x ; soit M' le point symétrique de M par rapport à L, c'est-à-dire le point i — x; soientPet Q'ies points où les droites OM, OM' rencontrent le cercle Ci, Q et P' les points où

Fig. 3.

les droites IM, IM' rencontrent le cercle Co; la figure PQ'FQ est un rectangle dont le centre est en 1^; on reconnaît de suite que les points P, Q', P', Q représentent respectivement les points

___, , ——-, ~ ; les points P et Q' sont sur le cercle C| ; on

pourrait prendre arbitrairement l'un de ces deux points pour le point X,; en prenantx,^ — — — . on a à faire une transformation du

cas IV*, en prenant X|= -» une transformation du cas III. Nous nous

placerons dans ce dernier cas ; X| est alors en Q', i — X| en Q ; l'argument de I — X| est l'angle dont il faut faire tourner 01 pour l'a-

mener sur OQ; il est négatif, compris entre o et — ^ si M est au-

dessous du point E, entre — x et — u si M est compris entre E et L

(c'est le cas le plus désavantageux); nous le représenterons par

— 2 J', ^J' étant un nombre positif compris entre o et - ; désignons

pour un instant par a la valeur absolue de l'argument de X|, ou l'angle lOM égal à l'angle OIM; puisque le triangle lOQ est isoscèle, son angle au sommet 2 ^ est égal à tî — 2 a ; on aura donc

et cette formule, puisque ^ est compris entre o et -> permettra

de calculer^ sans ambiguïté; on voit, sur les valeurs de £2 et es (n*^ 566), que ^ peut être déGni comme l'argument positif et moindre que ir de £, — £3.

Puisque l'argument de i — X| est — 2ij^, celui de sj \ — X| sera

— -et l'on aura