II. — Évaluation de u connaissant sni^ ou pu

576. Nous allons maintenant résoudre simultanément les deux questions suivantes :

i" Effectuer au moyen d'une série convergente le calcul de

/*^ dz l'intéerale / — — ^, prise le lone d*un chemin déter-

miné (Z) ne passant par aucun des points critiques.

2® Étant données deux valeurs concordantes z et z' de snu et de sa dérivée sn'w, c'est-à-dire deux valeurs z, z' liées par la

(") Voyez ScHWARZ; Formules, etc.j p. G7.

relation ^'^ nzz (i — 2^)(i — ^^5^), trouver une valeur de u qui vérifie les deux équations z = snu, z' =. sn'u.

Nous supposerons tout d*abord que l'on a|Ar|<Ct et nous

prévenons, une fois pour toutes, que le radical y/ 1 — k'^z^ sera regardé comme ayant la valeur i pour 5 = 0, et ses déterminations successives le long du chemin d'intégration comme en

résultant par continuation. Quant au radical y/i — 5*, nous ne spécifierons pas d'abord sa détermination, mais il est bien entendu que celte détermination devra aussi, le long du chemin d'intégration, résulter par continuation de la valeur initiale.

Avec le ravon

, du point o comme centre, décrivons un

cercle F; à l'intérieur de ce cercle, ^i — k^z^ est une fonction holomorphe (dont la partie réelle est toujours positive), et Ton a

Supposons que le chemin d'intégration (Z) qui ne passe par aucun point critique reste tout entier à l'intérieur de F, ce qui implique la condition | A*3 ! << 1 pour la limite supérieure de l'intégrale. Divisons les deux membres de l'égalité précédente par

y/i — z'^ et intégrons le long de (Z) entre les limites o et 5, ce qui est évidemment permis; nous aurons

r' (/;; r^ dz k^ Ç* z'^dz

X 7î^^v/r=T^~J, 77=^ "^Tj^ 7r^» '**'

L'identité

..('xn — I) ,. r" z^"dz .4. ..'2/1 / y/l — -*

dz

conduit aisément à la suivante ( ' ) :