iv
est convergente, comme il résulte immédiatement de la règle de Gauss relative au rapport d'un terme au précédent; désignons-en la somme par A^+i; comme cip^i est plus petit que Up, il est clair que A^+i sera plus petit que A^; dès lors, il est manifeste que la série à termes positifs
Al p -+- A j p' -f- . . . -i - A„ p««-» -+-... est convergente, puisque l'on a p <! i . La somme de cette série est
supérieure à la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris dans la série à double entrée
et la proposition énoncée est donc démontrée.
On en conclut que la relation obtenue subsiste quand le chemin d'intégration vient aboutir en un point z de la circonférence du cercle F.
577. Supposons maintenant que, pour z = o, y/i — z^ soit pris égal à I et considérons l'identité
la quantité iz-{- yi — z^ ne s'annule pas; dès lors, on peut supposer que les fonctions y/i — z-^ logyiz -h^ i — z'^} sont déterminées le long du chemin d'intégration par leurs valeurs initiales H- I, o, puis par continuation, et Ton aura
dz
/rr
= - Iog(i^ -f-y/i — ^*).
578. 11 est aisé de voir, en partant des propriétés de la fonction sini;, que le premier membre de l'égalité précédente peut aussi être défini comme il suit : Considérons un plan dans lequel on ait pratiqué deux coupures allant. Tune de 4- i à H-oo par l'axe des quantités positives, l'autre de — 1 à — 00 par l'axe des quantités négatives; arcsin^ peut être regardé comme une fonction holomorphe dans ce plan, fonction dont la partie réelle est comprise
entre et -^ — et qui vérifie identiquement l'équation
sin(arcsin^) — z,
f^ dz - ,- coïncide avec arcsin:; tant que le chemin
d'intégration n'a pas traversé de coupures; elle se change en Tc — arcsin^ quand on traverse la coupure de droite et en — TT — arc sinz quand on traverse la coupure de gauche, de sorte
qu'en traversant les coupures dans un ordre convenable, on obtient telle détermination que Ton voudra de la fonction inverse de sin^.
La première question posée au début est résolue quand le chemin d'intégration ne sort pas du cercle F.
579. Nous allons maintenant établir la proposition suivante : Quelles que soient les déterminations attribuées au logarithme et
au radical y/'i — z^, l'expression
n= ao
(CXXVII,) u= ^lik'')\os{iz -i- )/i — z^) - s/i — z^^ank^''Cj„{z)
satisfait à l'équation s = sn w.
En eOet, modifler la détermination du logarithme revient à aug inenter u de la quantité
où n désigne un entier. De même, changer y/i — z'^ en — ^i — z'^ revient à changer log [iz -f-y/ i — 5^) en
('2/1 -\- i)irt — log {iz -Hv^i — z^)y
ce qui revient à changer u en (/in-t- •.i)K — w, où fi est un nombre entier.
L'équation (CXXVIIi) définit une infinité de fonctions holomorphes de z dans le cercle F. Si, par exemple, on introduit dans ce cercle deux coupures rectilignes allant, l'une du point + 1 jusqu'à la circonférence deFparl'axe des quantités positives, l'autre du point — I à la circonférence de F par l'axe des quantités négatives, il est clair que, dans l'aire F' ainsi déduite du cercle F, les fonctions y^i — 5^, log {iz "h ^i — Z') peuvent être définies comme des fonctions holomorphes de z, en regardant les valeurs de
y/i — z^ et de log (iz -4- ^i — z'-^) comme étant respectivement égales à I et à o pour z = o; la partie réelle de y'i — z'^ sera alors toujours positive et la partie réelle de - log(/;; -f- ^1 — z^) sera
TT 'ÎI
comprise entre et H — •
On peut d'ailleurs procéder tout autrement et définir d'une in-
ï. Cl M. - III. 17
(initë de façons des aires limitées par un contour simple, situées à rinlérieur de F, dans lesquelles la fonction définie par le second membre de l'équation (CXXVIIi) soit holomorphe.
Si Ton considère une telle fonction ^''(5), on aura, pour chaque point de la région 011 elle est définie
et, par conséquent,
dW(z) I ^ I '
dz sn'W{z) y/i 5t/,__x-ï-t'
il suffit de prendre la dérivée de l'expression de ^{z) ou, plutôt, de se reporter à la façon même dont cette expression a été obtenue, pour reconnaître que l'on a
dW(z) I
en attribuant au radical y^i — z'^ la même détermination que dans W{z).
Si l'on considère maintenant une courbe quelconque qui, toutefois, ne passe pas par les points critiques et ne sorte pas de F, les deux membres de l'équation précédente pourront être regardés comme des fonctions continues de z^ régulières en tous les points de la courbe, de sorte que, en désignant par Zq et z les extrémités de cette courbe, on aura l'égalité
W(Z)-W(Zo)r: ^^ ^"^
r dz
on a ainsi, sous une forme plus générale, la solution de la première question, tant que le chemin d'intégration ne sort pas de F. On voit aussi que, si Ton se donne les valeurs concordantes 3, z* de sn^/, sn'w et si Ton prend dans ^ {z) pour la déterminalion de sj i — 5^,
yj\—'k^z^
on aura sn^^ r^ ;;, sn'^^ r:= 5', en regardant a comme égal à ^'(^)- \jdi seconde question est donc aussi résolue quand le point z n'est pas en dehors de F.
