Reprenons l'élude, le long d'un chemin déterminé du

plan des j', de l'intégrale / ' > où Y= 4y^ — g.,y — g^^ dans

J — yY

le cas où ^2j ^3 sont réels. Rappelons que, dans ce cas, la fonction p{u; g2j gi) dont les coefficients sont réels, prend, en même temps que m, des valeurs réelles ou imaginaires conjuguées. T. et M. — IV. I

Considérons d^abord le cas où les racines e^ , e^, e^ sont réelles.

Nous supposerons e^ >e2>ez et les nombres o)|, ^ réels et

positifs ( ' ). Dans le plan àesy^ le long de Taxe des quantités réelles pratiquons une coupure de e^ à es , de ^2 à es, de es à — oo et désignons par y/Y la fonction de y, holomorphe dans le plan coupé, qui prend des valeurs positives pour de grandes valeurs positives de y. Les signes de la partie réelle et du coefficient de /, dans cette fonction y/Y, s'obtiennent très aisément sur les bords supérieur ou inférieur des diverses parties de la coupure, et même dans tout le plan des y y si Ton observe qu'ils ne peuvent changer que lorsque la quantité sous le radical est- réelle, c'est-à-dire lorsque le point y traverse soit l'axe des quantités réelles, soit l'hyperbole (H) dont l'équation serait lai/^ — 4^^ — ^2 = 0 dans un système de coordonnées m, v^ dont les ax«s coïncideraient avec Taxe des quantités réelles et l'axe des quantités purement imaginaires du plan des y. Comme il est commode d'avoir ces signes dans les applications, on les a indiqués dans la figure (A) du Tableau de formules (CXXX); le premier signe se rapporte à la partie réelle, le second à la partie imaginaire; l'une de ces quantités est nulle sur les lignes de séparation, ce que l'on a indiqué en remplaçant par o l'un des signes dz. Relativement aux coupures, nous conviendrons de regarder le bord supérieur comme appartenant à la moitié supérieure du plan des y, le bord inférieur comme appartenant à la moitié inférieure. Ceci posé, on a le théorème suivant :

Il existe une fonction de y^ que nous désignerons par argpy, ayant les propriétés que voici : elle est holomorphe dans tout le plan coupé; pour tout point de ce plan on a p{^^%py)=^y\ quand ^ n'est pas sur une coupure on peut mettre argpj^ sous la forme /W| -\- t' tù^^t et t' étant des nombres réels, satisfaisant aux conditions o <I ^ <C i? — i < ^'<C ' 5 suivant que y est sur la coupure qui va de e\ à ea, de Ca à eg, de es à — 00, on peut mettre

( ' ) Observons en passant que l'on a Uj ^ -^ suivant que l'on a Cj < o, ainsi qu'il résulte des expressions de K, K' (ou x, x') au moyen de Xr' (ou x) et de ce que l'on a, suivant les deux cas, A'^ < 2 ^^î P^^ suite, A-:- A'^On voit aussi que quand k^ décroît de i à o, le rapport -^ croit de o à l'infini.

éyaluàtion des intégrales le long d'un chemin quelconque. 3

argpysous la forme Wizpws^i, Wi ^i qz 0)3, zpws^i, où t^ est réel et compris entre o et i, et où il faut prendre le signe supérieur ou inférieur suivant que Ton est sur le bord supérieur ou inférieur de la coupure. Ces conditions permettent, pour chaque valeur de y, de calculer sans ambiguïté la valeur correspondante de SiTgpy en se reportant au Tableau (GXX1X|2); ^ est d'ailleurs négatif ou positif suivant que le point y appartient à la moitié supérieure ou inférieure du plan; ^' est nul quand y est réel, compris entre et et -4- 00.

Si l'on admet pour un instant l'existence de cette fonction holomorphe, inverse de la fonction p, on déduit immédiatement de l'identité p{^^g py)=y que la dérivée, prise par rapport à y,

de la fonction argp^ est égale, au signe près, à ^^^; elle lui est

précisément égale, en adoptant le sens prescrit pour le dénominateur, puisqu'elle est négative pour de grandes valeurs positives de y. On voit donc que l'étude de l'intégrale envisagée se ramène à celle de la fonction argpj'.

591. L'existence de la fonction argpy résulte aisément de la représentation conforme d'un demi-rectangle des périodes de la fonction pw, au moyen de la relation y=: pu (*). Nous choisirons, pour le rectangle des périodes de la fonction p;/, le rectangle dont les sommets sont o)| — 0)3, a>i -|- (03, — (Oi -t- 0)3, — coi — 0)3, qui est symétrique par rapport aux axes des quantités réelles et purement imaginaires. L'équation (en u)y = pu admet deux racines situées dans ce rectangle, figurées par deux points symétriques par rapport au point o; elle admet par conséquent une racine dans le reclangle (R) dont les sommets sont w, — (03, Wi-i-cos, ^3j — W3; cette racine est unique si elle est figurée par un point intérieur à (R); mais si la racine u est un point du périmètre de (R), le point u' symétrique de u par rapport à l'axe des quantités réelles sera encore une racine de l'équation ^ = j)f/, puisque l'on aura alors, suivant le côté où se trouve le point w, Tune des trois égalités u n-u'= o, u — u' ^= ± 2103, w -|- m' = 20)1 et, dans tous les cas, pu* = pu=y; w et u' étant imaginaires conjugués

(') Voir ScHWARTZ, Formules, etc., art. 51, 52.

ainsi que les quantités égales pu, pu', y est forcément réel. On prévoit ainsi que l'image sur le plan desjK du rectangle (R) du plan des u remplira tout le plan des^ et que l'image du périmètre de(R) se fera deux fois quelque part sur l'axe des quantités réelles. Dans le plan des w, l'axe des quantités réelles partage le rectangle (R) en deux rectangles (R^, (R2)» symétriques par rapport à cet axe et dont les images seront, dans le plan des y^ aussi symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles. Nous désignerons par (Ri) le rectangle situé dans la région supérieure du plan des u : ses sommets sont les points o, Wj, w, -i- 103, 103. Suivant que ^2 6s^ positif, nul, ou négatif, la base de ce rectangle sera plus longue, de même longueur ou plus courte que sa hauteur. L'image de ses côtés, pris dans l'ordre adopté pour les sommets, de façon que son périmètre soit parcouru dans le sens direct, se fait évidemment sur les segments -[- ao ... ei , Ci ... ^2, ^2 ••• ^3j <?3 ••• — oo de l'axe des quantités réelles du plan des y. Au rectangle (R,) substituons une figure (S|), qui en diffère infiniment peu, obtenue en décrivant de chacun des sommets de (R|) comme centre, avec un rayon infiniment petit, un quart de cercle situé dans l'intérieur du rectangle et en supprimant de (R|) les petites parties limitées par ces quarts de cercle; la figure (Si) a huit côtés, quatre rectilignes et quatre circulaires. La fonction p'w ne s'annule et ne devient infinie ni sur le contour de (S|) ni à l'intérieur^ le principe de la conservation des angles s'applique donc sans restriction à la représentation conforme de (S|) par la formule y = pu. Supposons que le point u parte du sommet de (S|) situé sur l'axe des quantités réelles, dans le voisinage de o, puis décrive les huit côtés du contour de (Sj) dans le sens direct; suivons le mouvement correspondant du point y = pu. H partira d'un point infiniment éloigné, vers -h 00, de l'axe des quantités réelles et se mouvra sur cet axe en se rapprochant du point e^ sans y parvenir, décrira approximativement, autour de e< comme centre, un demi-cercle infiniment petit, situé dans la région inférieure du plan, se mouvra sur l'axe des quantités réelles en se rapprochant de €2 sans l'atteindre, décrira approximativement, autour de 62 comme centre, un demi-cercle infiniment petit situé dans la région inférieure du plan, se mouvra sur l'axe des quantités réelles en se rapprochant de ^3 sans Talteindre, décrira encore approximativement, autour

ÉTALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'uN GHBXIN QUELCONQUE. 5

de 63 comme centre, un demi-cercle infiniment petit situé dans la région inférieure du plan, recommencera à se mouvoir sur Taxe des quantités réelles jusque vers — ao, et décrira enfin approximativement, dans la région inférieure du plan, un demi-cercle de rayon infiniment grand, de centre o, qui ira rejoindre le point de départ vers -f-oo. Dans l'image, les mouvements rectilignes correspondent aux côtés rectilignes de la figure (S<) et n'ont pas besoin d'être expliqués davantage^ les mouvements circulaires approximatifs correspondent à la description des côtés circulaires de (S|); qu'ils soient tels que nous l'avons dit, c'est ce qui résulte, pour les trois premiers, de ce que le développement suivant les puissances de u de la fonction paire p(wa -+- a) — e» commence par un terme en a^, pour le demi-cercle infiniment grand, de ce que le développement de pu commence par u~^.

Dans le mouvement, le contour de l'aire infiniment grande qui représente (S<) est décrit dans le sens direct comme le contour de (R|). Il en résulte que si l'on considère un point y^ situé à l'intérieur de l'aire qui forme l'image de (S<), le vecteur qui va de ce point y^ au point mobile y qui décrit le contour de cette image, tourne de itz quand le point u décrit le contour de (Ri); on en conclut, en raisonnant comme au n** 508, que l'équation (en u)yo^= pu admet une racine et une seule figurée par un point intérieur à (Ri), ce qui est conforme à ce que l'on a dit au début. On voit donc que l'image de (R/) se fait sur la moitié inférieure du plan des y; le périmètre de (R<) a son image sur l'axe des quantités réelles : ce périmètre fait partie de la figure (Ri); nous conviendrons de regarder les images des côtés qui vont de (Oi à coi -f- a>3, de a>i -}- (1)3 à (03, de (1)3 à o, comme se faisant sur les bords inférieurs des portions de coupure qui vont de ei à ej, de €2 à 63, de ^3 à — oc; quant au côté qui va de o à Wj, son image est sur la portion non coupée de l'axe des quantités réelles. La fonction SiTgpy est alors définie sans ambiguïté pour tous les pointsy de la moitié inférieure du plan des y^ y compris les bords inférieurs des coupures : sa valeur est celte racine unique, définie plus haut, de l'équation y = puy racine figurée par un point du rectangle (R<) ou de son périmètre.

L'image du rectangle (R^) se fait symétriquement sur la partie supérieure du plan des y et permet de compléter la définition de

la fonction arg py. Les images des côtés qui vont de a)| à CO] — coj, de (ùi — (1)3 à — 103, de — 0)3 à o, se font sur les bords supérieurs des portions de coupure qui vont de ei à 62, de ^2 à 63, dee^ k — ao, en sorte que les bords supérieur et inférieur d^une coupure sont les images de deux points différents. On a précisément introduit les coupures pour que les points du plan des {/ situés à l'intérieur ou sur le périmètre du rectangle des périodes (R) et les points du plan des y se correspondissent d'une façon univogue.

592. Les propriétés énoncées de la fonction arg py sont maintenant évidentes; elle est holomorphe dans le plan coupé en vertu de la théorie des fonctions implicites (note i, n** 357). Quelques autres propriétés de la même fonction se déduisent immédiatement des remarques suivantes.

Les parallèles aux côtés du rectangle (R)ont pour images, dans le plan desj>^, des arcs de courbes algébriques, comme il résulte de la formule d'addition de la fonction pu. Considérons en particulier, dans le plan des m, le segment de droite qui va de C0| -|- } oij à ^0)3; il partage le rectangle (R^) en deux rectangles ('n), ( Tj) dont le second repose sur l'axe des quantités réelles.

La première formule (LX4), en y supposant a := 3 et en y faisant u = u' — r, CO3, donne

Si w' est réel, les deux facteurs qui figurent dans le premier membre sont conjugués; leur produit représente la distance du point j^ = p{u'-+- ^0)3) au point /?3, distance qui est constante en vertu de l'égalité même; le point p(^^'-h■ ! CJ3) est donc sur le cercle (<?3) décentrées et de rayon A* (e< — ^3); les points ^i, ej sont symétriques (n° 539) par rapport à ce cercle; lorsque m' varie de o)| ào, le point u = u' -^ .70)3 décrit dans le plan des u le segment considéré, et son iïrngey ^= pu décrit, dans le plan des y, du point p = e^-h k{e^ — e^) au point qz=^e^ — A(ei — 63), la moitié du cercle (^3) située au-dessous de l'axe des quantités réelles, puisque u se meut dans (R|). L'image de (ri) se fait à l'intérieur de ce demi-cercle, celle de (7*2) sur la région du demiplan inférieur qui est en dehors. Désignons par (/'s), (r») les rec-

ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'uN CHEMIN QUELCONQUE. 7

laogles qui, dans le plan des u^ sont, par rapport à Taxe des quantités réelles, les symétriques des rectangles (/'a), {r^ ) ; leurs images seront, dans le plan des y^ symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles des images de ces derniers rectangles; l'image du segment qui va de tOi — 5 103 à — ^ 0)3 se fait sur la moitié supérieure du cercle (^3). En représentant par (0| / -f- (O3 1' la valeur de argp^, | /' | sera inférieur ou supérieur à ^, suivant que y sera extérieur ou intérieur au cercle (^3). On démontrerait de même <|ue l'image du segment qui va de ^ (0| — W3 à ^(0|-[-u)3 est un cercle (ei) de centre e^ et de rayon k'{ex — ^3); suivant que le point^ est extérieur ou intérieur à ce cercle (ei), | /| est inférieur ou supérieur à J.