De l'égalité

on déduit maintenant que l'intégrale / — ~=f où le chemin qui

Jy, — /Y __

vade^i ky^ne traverse pas de coupure et où \/Y a le sens précisé au début, a pour valeur argpy2 — ^^gp^i. Ce résultat subsiste si le chemin d'intégration suit le bord d'une coupure, sans la traverser.

Si le chemin d'intégration traverse la coupure, nous conviendrons de désigner encore, en chaque point de ce chemin, par y/Y la fonction de^, holomorphe dans le plan coupé des^, définie au

début, tandis que nous désignerons par y/Y la fonction obtenue par continuation, le long du chemin d'inlégration, de la fonction

qui coïncide avec y/ Y au début de ce chemin. Si cetle fonction y/ Y coïncidait avec \'\ avant de traverser une coupure, on aurait nécessairement \J\ ^= — y/Y après avoir traversé celte coupure, et

inversement. Pour évaluer l'intégrale 1 — ^> prise le long d un

chemin quelconque, qui peut traverser un nombre quelconque de fois les coupures et qui va d'un point quelconque^! du plan des j^ à un point quelconque ^2 àe ce plan, sans passer toutefois par les points ei, 62, ^3, il suffira de fractionner le chemin donné en parties qui restent chacune dans le plan coupé et d'évaluer sépa-

rëmcDl chacuDe des parties correspondaDtes en remplaçant, suivant les cas, \Y par y/Y ou par — \/\ .

Supposons, par exemple, que le chemin d'intégration traverse une seule fois la coupure de bas en haut en un point a. Nous distinguerons les deux points a', a!^ qui coïncident avec a, mais qui sont situés le premier sur le bord inférieur, le second sur le bord supérieur de la coupure, et nous aurons

où Ton doit prendre le signe inférieur dans le cas seulement où l'on traverse la coupure entre €2 et e^. On aura donc, en observani la même règle pour les signes,

/^' dy — =7^ =(argpa'=^argpa''; - ( argpj^, zh arg pj', ,);

d'ailleurs la première parenthèse se réduil à 20)1, 20)3 ou o, suivant que a est entre e^ et 62^ €2 et es, e^ et — 00.

Nous nous contentons de signaler les résultats suivants, que l'on peut d'ailleurs lire sur la figure (A),

Y"' dy '/•''* dy Y"* dy V'* dy

la seconde et la troisième intégrales élant prises sur le bord inférieur de la coupure. Si on les prenait sur le bord supérieur de la coupure, leurs valeurs changeraient de signe.

Ces formules peuvent être encore écrites sous les formes

Iv/Y

Je. I/Yi J.. Iv/Y! • '' J-«|/Y| Je.,

Pour ^3 = 0 (^2 = o, ^3 — — ei, Xr^ :^ I), on a en particulier tO| = ~; la figure formée parles quatre points o, (0|,(0|4- 0)3, 103, est un carré.

ÊYALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'uN CHEMIN QUELCONQUE.