ÉTALUATION DES INTÉGRALES LE LONG D'UN CHEMIN QUELCONQUE. I

équivalentes de la forme

a^ -h P 0 3 — p 0 aS — 8y z — s,> y = = 1 — * 9

où a, p, Y, 3 sont des constantes telles que aS — ^y soit différent de zéro. Par ces formules, les points du plan des y et ceux du plan des z se correspondent d'une façon univoque.

Nous réunissons, dans ce qui suit, quelques propriétés géométriques importantes de cette correspondance, grâce auxquelles le lecteur n'aura aucune peine à établir les résultats ultérieurs. Nous supposons Y différent de o, sans quoi la correspondance se réduirait à une similitude.

Nous désignerons par T et S les points respectivement situés

dans le plan des z et dans le plan des^ dont les affixes sont ~ et

; le point T correspond à ^^= oo, le point S à >3 = oo. A tout

cercle ou droite du plan des z qui ne passe pas par T correspond un cercle du plan des ^, cercle qui passe par s s'il correspond à une droite. A tout cercle ou droite du plan des z qui passe par T correspond une droite du plan des y, laquelle passe par s si elle correspond à une droite. Ces propositions résultent de ce que la formule de transformation peut s'écrire

y — V} , rs — ri ^ s — Zj zti — zi y—y^ ' yz—yt z — z^' z^—z^'

en désignant par^,, ^^3,^3 les points du plan des y qui correspondent aux points -S|, Z2^ Zz du plan des 5, lesquels peuvent être

.* z - Zi

pris arbitrairement. Si l'argument (trigonométrique) de - — -J reste constant, en sorte que le point z décrive un cercle passant par les points .Zi^ Z2, l'argument de — — — restera aussi constant, et le point j^ décrira un cercle passant par les points ^1,^2. De

même, si la valeur absolue de ^ reste constante, en sorte que

le point z décrive un cercle par rapport auquel les points .3|, ^2

y — vi y-yt

constante, en sorte que le point y décrira un cercle (ou une droite)

soient symétriques (n° 559), la valeur absolue de ^ • restera

l6 CALCtL INTÉGRAL.

par rapport auquel les points jki, J'2 seront symétriques. La transformation précédente conserve donc la symétrie des points par rapport aux cercles et aux droites. La même conclusion résulte aisément du principe de la conservation des angles et de la considération du faisceau de cercles orthogonaux à un cercle qui passent par deux points symétriques par rapport à ce cercle. Le centre d'un cercle et le point 00 de son plan peuvent être regardés comme symétriques. Si donc on désigne par iC) un cercle ou une droite du plan des y^ par (D) le cercle ou la droite du plan des z qui lui correspond, le centre de (D) sera le correspondant, dans le plan des z, du point du pian des y symétrique de S par rapport à (C), le centre de (C) sera le correspondant, dans le plan des v, du point du plan des ^ symétrique de T par rapport à (D). Si (C) et (D) sont des cercles vrrirables, les points S et T sont respeclivemenl extérieurs lous les deux, ou intérieurs tous les deux, aux cercles (G) et(D); dans le premier cas, les parties des plans des v et des z respectivement extérieures ou intérieures aux cercles (C), (D) se correspondent; dans le second, la partie intérieure à un cercle correspond à la partie extérieure à l'autre. Si T est sur le cercle (D), (G) est une droite partageant le plan des ^ en deux régions; celle qui contient S correspond à la région du plan des z extérieure à (D). De même, si (D) est une droite et (G) un véritable cercle, passant nécessairement par S, la région du plan des z qui contient T correspond à la région du plan des y extérieure au cercle (G). Si (D) et (G) sont deux droites passant nécessairement la première par T, la seconde par S, la correspondance entre les points des deux droites est homographique, en sorte que, si le point z décrit la droite (D) toujours dans le même sens, en passant par T, le point y se meut sur la droite (G) en allant toujours dans le même sens jusqu'au point à l'infini dans cette direction, point qu'il atteint quand z arrive en T, passe brusquement, dès que le point z dépasse T, au point à l'infini dans l'autre direction et recommence à se mouvoir dans le même sens que tout d'abord.

Quand le point z décrit une courbe continue qui ne passe pas par T, ce mouvement même définit à chaque instant la région voisine du plan des z qu'il a à sa droite ou à sa gauche; de même le mouvement correspondant du point ^. En vertu du principe de la