Par la substitution précédente, l'expression différen

dz tielle -^.9 où Z est un polynôme du troisième ou du quatrième

degré, à racines inégales, se change identiquement en — =^> si 1 on pose

Y est un polynôme du quatrième degré, qui ne s'abaisse au troisième que si - est racine de Z ou si, Z étant du troisième degré,

Y est nul.

Si le polynôme Z = A;;»-i- 4B5» + 6C52+ 4D5 + E est du quatrième degré, nous désignerons ses racines, rangées dans un ordre que nous nous réservons de spécifier^ par >3|, 32, 33, z^\ si nous ne voulons pas spécifier cet ordre, nous désignerons par X, [X, V, p les nombres i, 2, 3, 4 rangés dans un ordre déterminé quelconque et nous emploierons les notations z\^ z^^ z^, Zp pour désigner les racines. Si A est nul, nous supposerons )^ = 4j et c'est la racine z\ ou ^4 qui disparaîtra, ou, si Ton veut, deviendra infinie.

Nous allons chercher à déterminer les coefficients de la substitution linéaire de façon que Y soit de la forme 4y^ — gay — ^3. A cet effet, nous choisirons d'abord une des racines de Z pour fi-

gurer à la place de - dans la formule de transformation qui lie y

à Zy afin que Y soit du troisième degré ; si nous désignons la racine choisie par z^j nous pouvons écrire cette formule

^ y -\- n ^ z — Zp

T. et M. — IV. 2

l8 CALCUL INTÉGRAL.

en désignant par m et n des constantes. Le polynôme Y, ordonné suivant les puissances de j^H- /i, prend alors la forme

(a) Y = i^ Z'^(y-^ n)'+ i ZJCj. -^ n)« -^ | Z;(j.+ /i) -i- g Z-,

où Z' Zp, Zp, Zp désignent ce que deviennent les dérivées de Z pour 5 = 5p', il aura la forme voulue 4y^ — g2y — gi si Ton détermine m et n par les conditions

on trouvera ensuite, par un calcul élémentaire,

^j = AE -f- 3 C« — 4 BD, ^3 = ACE -i- 2BGD - AD« — EB« — G» ;

g% 6^ ^3 sont les deux invariants de la forme Z; ils ne dépendent pas de la racine z^ que l'on a choisie.

Nous rappelons ici la composition des invariants g^^ ^3, au moyen des racines de Z. Si l'on pose

on aura ( ' ) et

Si Z r= a^' -h 3 65^ + 3 es -f- rf est du troisième degré, on trouvera, pour les invariants g^y ^3, les valeurs

gt^l {b^—ac), g^ = \ {:iabc-a'd— ib^). 4 10

dz [Dans ce cas, l'expression différentielle - se changerait encore

dr az-^'h

en —t par la substitution entière y= -^ — > en supposant

y/Z = y/Y et en conservant pour g2 et ^3 la même significa-

(') Voir par exemple le Traité d'Algèbre supérieure de M. H. Weber, t. 1. p. 24^ de la traduction française de M. Griess.

éyàluàtion des intégrales le long d'un chemin quelconque. 19

IÎod; nous ne parlerons plus de cette substitution entière, dont l'étude n'offre aucune difficulté.]

dz En résumé, si, dans l'expression différentielle -p:> on fait la

substitution

(CXXXII.) ,^,^^.J^, r=^zp-/^t.

OÙ z^ est une racine de Z, cette expression difflérentielle prend la

forme — ^ » où l'on a Y = /\y^ — g^y — ^3. En deux points cor- — /Y

respondants y^ 5, c'est-à-dire en deux points dont les affixes sont liées par la relation (CXXXlIi),les valeurs des radicaux sont liées par la relation

(CXXXII,) /Y = y\ s/Z^iriy-~ Zp)'/Z.

Si l'on veut appliquer les remarques du u** 597, on devra remplacer T par Sp et s par j^ Zp.

Les racines ^i, ^2, e^ de Y se déduisent des racines de Z. Lorsque Z est du quatrième degré, nous désignerons respectivement par e», ep, ey les valeurs de y qui correspondent (au sens précédent) aux valeurs z\^ z^^ ^v de -3, le point 00 du plan des j^ correspondant à >Zp. Si Z est du troisième degré, nous désignerons par ep, ey les valeurs de y qui correspondent respectivement à 5|j., 5v : ce sont deux racines de Y; on trouve d'ailleurs aisément

la troisième racine ea de Y apparaît sur l'expression (a) de Y, 011 Ton doit supposer Zp =: o ; elle est — /î := ^ ZI = s ; elle correspond au point 00 du plan des z,

S99. Nous supposerons désormais que les coefficients de Z sont réels; il en sera de même de ^2? g^-i si même on a employé une substitution imaginaire. On a dès lors, en faisant se correspondre les valeurs de y et de z, ainsi que les chemins d'intégra-

lions et les valeurs des radicaux,

r dz r dv

pourvu que le chemin d'intégration relatif à la variable y ne traverse pas de coupure dans le plan des y. Il est bien naturel de tracer dans le plan des z des coupures qui correspondent à celles du plan des j^; elles seront les images, dans le plan des z, des côtés du rectangle (R) du plan des i/, résultant de la transformation

Z — Za-^

P DM— » Z" '

et elles permettront de se passer de la variable intermédiaire j^.

Dans le plan des z coupé, y/Z sera d^ailleurs une fonction holomorphe de z, définie, en tel point que l'on voudra, par la formule (CXXXIl2),où y/Y a le sens qui a été précisé dans les paragraphes précédents. A la vérité, dans les applications, c'est la

détermination de y^Z qui est donnée, et l'on en déduit celle de y/Y parla formule (CXXXII2); si la détermination ainsi obtenue pour y/Y est contraire à celle qui a été précisée dans les paragraphes

r" dz

précédents, la valeur de 1 —^ sera égale à argp^' — ^^SP^"-

I^ construction des coupures (rectilignes ou circulaires) du plan des z n'offre aucune difficulté : il suffira, dans les différents cas, de se reporter aux propriétés géométriques que nous avons réunies au n° 597, et nous nous contenterons d'expliquer nos notations et d'énoncer les résultats essentiels afin de rendre intelligibles les formules et les figures de notre Tableau de formules.

Observons encore, en général, qu'on peut choisir arbitrairement la racine z^ qui figure dans la formule de transformation, mais qu'il y a avantage, quand on n'envisage que les valeurs réelles de z qui rendent Z positif, à choisir une substitution réelle et telle que les valeurs correspondantes de y soient supérieures aux racines réelles de Y, afin que les valeurs de argpy soient réelles; on verra que cela est possible, sauf dans le cas où les racines de Z sont toutes les quatre imaginaires. De même, si l'on considérait les valeurs réelles de z qui rendent Z négatif, il y aurait inté-

ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG d'DN CHEMIN QUELCONQUE. 21

rét à choisir la substilution de façon que les valeurs correspondantes de y fussent inférieures aux racines réelles de Y, de façon que argpjK fût purement imaginaire.

On pourrait, dans ce qui suit, supposer que dans Z le coefficient de la plus haute puissance de ;; est positif, car si la fonction y/Z est bien définie, il en sera de même de la fonction y/ — Z = ïy/Z; si donc, le long d'un chemin déterminé, on sait

effectuer l'intégrale / » on saura effectuer, le long du même

/dL — • /Z