IV. — Cas où A est nul
600. Examinons maintenant les différents cas. Supposons d'abord que Z 1= az^ -I- . . . soit du troisième degré ; nous supposerons a ]> o ; s'il en était autrement, on pourrait utiliser la remarque précédente; mais il vaudrait mieux, ici, commencer par changer z en — z.
Il y a lieu de distinguer deux cas suivant la nature des racines de Z. Si ces racines sont réelles, toutes les substitutions seront réelles, ainsi que les racines de Y; si Z n'a qu'une racine réelle, il y aura une substitution réelle par laquelle correspondra, à la racine réelle de Z, une racine réelle de Y; les deux autres racines de Y seront conjuguées.
Plaçons-nous d'abord dans le cas où les racines de Z sont réelles et désignons-les par Z\ , Zx^ z^ en supposant 5| >> ^2 ^ ^z \ on suppose aussi, comme d'habitude, e^^ e^^^ e^. Ces suppositions, jointes aux relations, bien aisées à démontrer,
où la correspondance entre les deux systèmes de racines est celle qui a été expliquée n° 598, permettent de montrer que l'on a nécessairement a = p, p = v, Y = [X. Aux points 00, z^^ z^y Zp du plan des z correspondent les points ep, e^, e^^ 00 du plan des y. Cette
correspondance est donnée en détail par le Tableau suivant pour les différents cas p = i, 2, 3.
r = ei
y -ei
y--=et
r-^ ex
Z — Zi
z — Zt
y-^ex
JK=--«î
Sgn Z'p
La première colonne verticale contient les valeurs — », 53, «2, 5|, -+- 00 de -3 rangées par ordre de grandeurs croissantes; en face de ces valeurs, dans les colonnes suivantes qui se rapportent aux diverses valeurs de p, sont placées les valeurs correspondantes dey, les signes q= 00 que Ton trouve pour p = i et p = 3 parmi ces valeurs signifient que, z croissant, y^ qui décroît en général, passe brusquement de — 00 à -h 00 quand z traverse la valeur z^\ le signe dzoo du cas 0 = 2 signifie au contraire que y^ qui croît en général avec s, passe de H- 00 à — 00 quand z traverse la valeur 52. Le Tableau donne enfin le signe de Zl nécessaire pour déduire la définition de y/Z de celle de y/Y. Les images des diverses portions de coupure du plan des y se faisant, dans le plan des 5, sur l'axe des quantités réelles, s'aperçoivent immédiatement dans les différents cas. Pour p = i ou 3, la moitié supérieure du plan des z correspond à la moitié inférieure du plan Aesy\ pour p = 2, les moitiés supérieures des deux plans se correspondent.
Si z ne prend que des valeurs réelles comprises entre z^ et 4-00, on prendra, dans les formules (CXXXlIi^a^^) et dans le Tableau que nous venons d^écrire, p = i ; si 5 est compris entre Z2 et 53, on prendra soit p =2, soit p = 3; aux valeurs de z comprises entre les limites d'intégration correspondent alors des valeurs de y comprises entre e^ et -\- 00. De même, si ;; ne prend que des valeurs réelles qui rendent Z négatif, on choisira p de manière
ÉYALUATION DBS INTÉGRALES LE LONG d'uN CHEMIN QUELCONQUE. 23
que, aux valeurs de z comprises entre les limites d^ntégration, correspondent des valeurs de y comprises entre e^ et — oo. On obtient ainsi les formules (CXXXIll), où il est toujours entendu que les quantités (Oi, 0)3 sont définies au moyen de e^, e^j e^ comme au n® 527.
601. La méthode s'applique naturellement au cas où le polynôme Z serait le polynôme 4-3' — g2^ — gz et se reproduirait en quelque sorte par la substitution. Elle s'applique aussi très aisément aux intégrales du type
dz
^izz{zdzi){nz — I)
OÙ e est égal à -H i ou à — 1 et où n est un nombre réel différent
dz de o et de in i. On trouve ainsi que l'expression ,
* ^ v/4ez(«d=i)(/i«— 1)
se change en -^ .> où ^35 gz sont donnés par les
— /4r*— ^î7 — /C'a formules
quand on remplace z par Tune ou Pautre des expressions
qz 3 ty-h ndi'x i 3zy ±in -^i ip3
Se^zban-hi n 3s^zp/i — 2' 36^q:n-i-i'
les valeurs des radicaux y/4 £5(5 ±i)(/i5 — i), \/4y^ — g2y — ©a sont telles que leurs rapports soient respectivement
£(3rbl)2 £(,13 1)1 ^
> — : — ; r ' -i- tz
n ±1 1 n{i dz n)
les racines d , ej, ^3 sont les trois nombres —5 — » — :: > — ~ —
' 3s 3e is
rangés par ordre de grandeur décroissante. Dans toutes ces formules, les signes se correspondent.
Si Ton applique ces substitutions eu supposant la variable d'intégration réelle, on obtient en particulier les formules (GXXXIV).
En remplaçant z par x^ et s par 4- i , on voit que les formules
zn 3 >'-+- /i ± 2 . 3rii:2/i-4-i . ^ ^
X» = "^ -^^ , nx^ = -j » , x^ =
3^rt:2n4-i 3/qin — 2 3^zp/H-i
a4 CALCUL INTÉGRAL.
dx dy
iransformenl l'expression en .
où ^2î gzt^x-) ^2» ^3 ont les déterminations que nous venons d'écrire
et où les valeurs des radicaux v/(=P i — X'){ i — /«^^) , ^Ay^ — g^y — g% sont telles que leurs rapports soient respectivement
y » III — 37*.
IX nzhi 'ixn{iz:zn) 'i
En désignant par A un nombre positif et en posant n = A^, on obtient, en particulier, les premières formules (GXXXV) ; K, K'y représentent (CXlXo) les quantités \{k^),\'{k'^)^ où l'expression de k^ au moyen de h est indiquée pour les diverses intégrales envisagées.
Si Ton remplace dans les mêmes formules z par x^ et e par — i , on voit que les formules
a?* = — 7r^—\ > nx^ = ^ , x* =
— 3/ dz '2 /n- I — Syzpn — i — Sy zp n
transforment l'expression — - en "^
\/('-bi-hJ:«)(i— nx^) )/^y^-~ giy—gi o^ ^2j ffiy ^M ^27 ^3 sont déterminés parles mêmes relations pour e = — I el où les déterminations des radicaux y/(=lz i -f- x-) ( i — nac'^)^
\J Ay^ — g^y — g^ sont telles que leurs rapports soient respectivement
'IX Fizjoi •2xn{i — n) 2
En désignant par h un nombre positif et en posant /i = — A^, on obtient, en particulier, les dernières des formules (CXXX V).
602. Plaçons-nous maintenant dans le cas où une seule racine de Z est réelle; nous la désignerons par Z2 ; nous désignerons par Z|, ^3 les racines qui sont la première au-dessus, la seconde audessous de l'axe des quantités réelles, et nous nous bornerons à la seule substitution réelle, qui correspond évidemment à la supposition p = 2. Pour ce qui est de la fonction pw, on est dans le cas du n** 56o; on doit donc supposer ea réel, ei et e^ figurés par des points situés le premier au-dessus, le second au-dessous de
ÉTALl ATION DES INTÉGRALES LE LONG d'uN CHEMIN QUELCONQUE. 25
l'axe des quantités réelles. Le nombre Z^ est réel et positif; pour les valeurs réelles de y^ z el y varient dans des sens contraires; la moitié supérieure de l'un des plans correspond à la moitié inférieure de l'autre. Aux points oo, z^^ z^^ z^ du plan des z^ correspondent les points ej, oo, ^3, ex du plan des y. A la coupure qui va, dans le plan des j^, sur Taxe des quantités réelles, de ^2 à — oc, correspond, dans le plan des z^ une coupure qui va de — 00 à ^2, le bord supérieur de la coupure du plan des z correspondant au bord inférieur de la coupure du plan des^. Au cercle (^2) du plan des^, de centre e^ et passant par ©i, e^ correspond, dans le plan des 5, le cercle (53) de centre z^ et passant par les points 5|, z^\ au point y t=z m =: e^ -{- \ >J e^ — e^ ^ e^ — «?3 | où, dans le plan des y^ le cercle (^2) rencontre, vers la droite, l'axe des quantités réelles, correspond, dans le plan des z^ le point i; = M = ^2 -4- , V^2 — Zs v'52 — 33 où le cercle (52) rencontre, aussi vers la droite, l'axe des quantités réelles. A la coupure rectiligne du plan des y qui va de m à e^ correspond, dans le plan des 5, la coupure recliligne qui va de M à -f- 00, le bord supérieur de la coupure du plan des z correspondant au bord inférieur de la coupure du plan des j^. A la coupure circulaire du plan des y qui va de e^ à é?3, en passant par m, correspond, dans le plan des 5, la coupure circulaire qui va de z^ à z^ en passant par M ; le bord intérieur de l'une des coupures correspond au bord extérieur de l'autre. Dans le plan des z ainsi coupé, \/Z est une fonction holomorphe de z\ elle est positive pour des valeurs réelles de 5 un peu plus grandes que 32. La figure (G) du Tableau (CXXXVI) met en évidence la correspondance directe entre la variable u et la variable z. Elle correspond au cas où l'on a ^2 1> ^ (^i -h S3) et où, par suite^ 62 est positif, en sorte que l'angle que font les deux vecteurs allant de o à (0| et à 0)3 est obtus. Dans tous les cas, les demi-côtés du rectangle (R) qui vont respectivement de o à 0)3 — Wi et à cO| — W3, ont leurs images sur les bords supérieur et inférieur de la coupure qui va de — 3c à ^2 ; les côtés qui vont de 0)3 — coi à •j(3ci>3 — (1)4) et de Wi — 0)3 à ^(3wi — W3) ont leurs images sur les bords supérieur et inférieur de la coupure qui va de -f- 00 à M ; les quarts de côtés qui vont de 1(30)3 — coi) à (O3 et de ^(3wi — 0)3) à a)| ont pour images les bords extérieurs des coupures circulaires qui vont de M k z^ et de M à ^3 ; le demi-côté qui va de 0)3 à (Of a
pour image le bord intérieur de la coupure circulaire qui va de z^' à ^3. Les rectangles du plan des u désignés sur la figure par (ri \ {f^2)t (^3), (''4) ont respectivement pour images les régions {r\), (r^), (r*), (rj) du plan des ;:. La démonstration des formules du Tableau (CXXXVI) n'offre dès lors aucune difficulté.
