Cette relation (6), jointe à la relation

permet, dans le cas où a n'est pas nul, de ramener le calcul du nombre [a, b\ défini par l'égalité (x) au cas où le nombre a est égal à ±1. En effet, la dernière relation montre que l'on peut toujours remplacer n par le reste de la division de a par b, en d'autres termes supposer | « | <; | fe ] ; cela fait, !a relation ((5) ramène le calcul de [a, 6] à celui de [6, n]; on remplacera encore b par le reste de la division de b par a, etc. Les nombres que l'on substitue successivement a a, b sont les nombres mêmes que l'on trouve comme restes dans l'opération du plus grand commun diviseur ; puisque a et i sont premiers entre eux, deux restes consécutifs sont toujours premiers entre eux et le dernier reste est ± i , en sorte qu'on est ramené à calculer [it i, «].

io3

226, Le calcul des nombres [i,«], [— i, «], où a esL un entier différent de zéro, n'offre aucune difficulté.

La relation (6) donne en effet, en y supposant i =; i ,

comme, d'après les relations (5) et (/t), on a

on peut écrire

(7) [!,„] = 3«sgn«-«^-^=^-(«-sgna)(«-asg»«).

On déduit d'ailleurs immédiatement de la relation (3) que l'on a

Dans tous les cas, la recherche du nombre [a, l>] est ainsi ramenée à des opérations purement arithmétiques.

Il serait aisé de démontrer que ce nombre est toujours pair : nous ne nous arrêterons pas à cette propriété dont nous n'aurons pas besoin.