On tire de l'cgalité précédente

iogh(T) = N^ + ^log[-(«+i-c)^l + logh(T)^2/,T:i,

yGoosle

LES FONCTIONS S'. qS

k étant un nombre entier qui dépend des détermioatioris choisies pour les logarithmes. On peut faire rentrer k dans N, ce qui ne modifie N que d'un multiple de a4i et adopter pour les logarithmes des déterminations précises: alors N sera entièrement déterminé.

Nous avons choisi l'argument de — (o+Zit)'^ compris entre

— m et +it; il est naturel d'adopter pour log[ — (a + è-r)^] la détermioalion correspondante, c'est-à-dire la détermination principale, celle pour laquelle le coefficient de i est compris entre

— Tt et + Ti:. D'autre part, la définition de h (t)

donne, en clioisissanl convenablement les déterminations dos logarithmes,

Iogh(.) = ^-hIogJJ(i-9^").

Mais il est aisé de voir que l'une des délerminalions du logarithme qui figure au second membre est la somme de. la série convergente {')

où le logarithme a sa détermination principale.

Pour éviter loate ambiguïté, nous poserons, en conservant toujours cette signification à log(i — </'"),

(0 ih(.) = '-^-H2;K('-g=")

(') C'est là une propriété générale que l'on a négligé de signaler dans l'Introduction et que nous rappelons rapidement ici.

Obaerïons d'abord que, si x est un nombre imaginaire dont la valeur absolue

est moindre que un, l'argument de i -h a: peut être supposé compris entre

I principale du logaritlime de i H- a; a k

lh(T) est alors une des détermi nations de !ogli(T); c'est une fonction Linivoque et continue de t pour les points t situés au-dessus

coefQcient de sa partie imaginaire eompris entre — - cL H : log(

ainsi déflni, sous la eondition \ x \ <,i comme uae fonction univoque de ic; cetie fonclion coïncide avee la somme de la série

puisque la coïncidence a lieu pour œ = o. Ceci posé, soit

un produit infini absolument convergent dans lequel on suppose que tous les termes k„ aient leur valeur absolue moindre que un. En désignant par y, la déli principale du logaritlime de i+ «„, on aura

Cette série reste convergente quand on y remplace tous le> -^> ■ ■ ■ par leurs valeurs absolues; elle a alors pour somme

v„.-.-ioe((-|«j),

le logarithme ayant ici la signification élémentaire. D'ailleurs, la série à termes positifs

Il en résulte (n° 38) que la séde dans laquelle le logarithme a sa détermination principale.

de l'axe des [[nantîtes réelles. Nous aurons de même

a) ih(T) = ^-i-2)ios(i-Q=").

en supposant

et, finalement, nous écrirons

(Yi ) lh(T) - N ^' + i|ofe-[-{« + 6t)M + lli(-).

Le nombre entier N est complète ment déterminé par cette égalité, ainsi qu'il résulte toujours du raisonnement du n" 181, puisque les fonctions

lh(T) = lh(^-g), Iog[-(«+6.)M, lh(.

sont univoques et continues pour les valeurs considérées de ■:.

C'est la détermination de ce nombre précis, au moyen de a, b,

c, d qui va désormais nous occuper : l'égalité précédente met en

évidence que sa valeur ne change pas quand on remplace «, /;,

c, d par — «, — i, — f, — d.

220. Tout d'abord, nous allons substituer à la recherche de N

valeur est manifestement une des ilctermlnations <lc

il en L'ésulte aussi que la série à double ei

ntrée

où ntlp doivent prendre les valeurs i, s peut être ordonnée comme Von veut. Dan

,3, ...,est absolumen' s le cas du texte, oCi l'i issaaces entières Je q,

t converger >u a 1 5 i <

-flos(.-,.

96 CALCUL DIFFÉBEKTIEL.

la reclierclie d'an autre nombril entier cjni ne dépend plus que de «, 6.

Dans le cas où « et f* sont différents de zéro, on doit toujours supposer a et 6 premiers entre eus, puisque ad — hc est égal

Regardons a, b comme des données; c, (^doivent alors former une solution a; =; c, y ^d à?^ l'équation indéterminée

et comme ((, b sont premiers entre eux, toute autre solution sera donnée par les formules

OÙ m est un entier quelconque. Soil d'ailleurs

, c'^d'-. ''' " ~âT~b^ '^'^^ '"'

etW ie nombre qui dépend de n, i, c', d' comme N dépend de a, b, c, d; nous aurons

lh(T') = !S' — -l-ylog[-(« + &-:)2]-+-lh-;.

D'ailleurs

ib(T') - lh(T .^ m) = i'Lt^^.}!! + 2 loge - Q'");

à latérite, on aurait dii, dans cette égalité, remplacer q = e™' par

mais cette substitution ne peut que changer q en ^ q et, comme on ne voit figurer que des puissances paires de q, elle est inutile. On a donc

lh(T')=lh(T) + Ȕ^,

et, par suite, en comparant les valeurs de lh(T) et Ui(T'),

N + m = N', ou encore

Le nombre N — j- reste donc le même quand on subsÙLue à c, d, n'importe quelle solution de l'équation indéterminée

en d'autres termes, il ne dépend que de a, b; il en est de même du nombre entier 6N — d el du nombre entier bN-a — d;

c'est ce dernier nombre que nous allons chercher à déterminer; une fois qu'il sera connu, N sera aussi connu. Nous poserons (')

et l'équation (-ii) qui définit N sera remplacée par l'équation

<» "'(ïï?.) = '■■■'l,^,-^'' ..-+-!l.8H..^^»).l^li.x,

qui définit le nombre [a, 6] quand « et fo sont différents de zéro. Dans le cas où a est égal à zéro, nous poserons encore

en sorte que l'équation (x) subsiste; nous prouverons d'ailleurs dans un instant que [o, ft] est nul, et par conséquent indépendant de rf, ce que la définition précédente ne montre pas tout d'abord. Le nombre [a, &] est donc défini par l'équation (k) pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a. Le symbole [a, b] n'aurait aucun sens si nous y supposions 6 = 0,

221. L'égalité (x), en y changeant ff, 6, c, (/en ^ a, — b, — c, — d, montre de suite que l'on a, pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a,

D'autres propriétés du symbole [a, b] vont s'obtenir en faisant diverses substitutions dans la même égalité.

98 CALCUL DIFKÉHEfiTlEL.

En supposant où y. el •' sonl des nombres réels dont le second est positif, faisons

Les deux points t, T) sont symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Les nombres t, — t, sont conjugués; il en est de même des nombres ix, (Ti , et, par suite, des nombres

ainsi les deux fonctions

sont imaginaires conjuguées.

Si l'on pose

il est clair que les deux points t et t, sont dans la même situation relative que t et t, , puisque

sont des nombres imaginaires conjugués ; les deux fonctions h(T), 1i(ti) sont donc aussi imaginaires conjuguées.

Comme les coefficients a, — b, — c, d de la transformation

vérifient la relation arf — (— 6) (— c) = i, et que les points T, et Tf sont au-dessus de l'axe des quantités réelles, on peut appliquer la relation (x) en j remplaçant t et t respectivement par 7, et T), et simultanément a, b, c, d par a, — b, ^ c, d. On aura

<).) ih(TO=tiL=AIi^±^^,-^i|„gt(«èTon+ni^i.

yGoosle

Mais les valeurs principales des logarithmes tle deux quantités imaginaires conjuguées sont elles-mêmes des quantités imaginaires conjuguées ". telles sont donc les fonctions

log(i— 5-5") et log(i — y'2«), IK('ô) et lh(^,), 11i{t) et lh(T,).

En se reportant aux équalions (y.), ()>), on en conclut {■2) |«,-6J = [«,6].

Cette égalilé jointe à l'égalité (i)

\~a,-b]=-[a,b] donne, pour tout entier b différent de zéro et pour tout entier a,

(3) i-a.b]^-[a,l,l d'où, en particulier, pour et ^ o,

Ces égalités montrent que, pour le calcul du nombre [a, i], on pourra se borner au cas où a et Z» sont positifs.

222.Changeonsmainleiiant,dansl'égalité(x),':enT + i, Comme, d'après la formule (s), on a

-'^]og[,~i^ç,f"

.tlog[-(« + ft-!-i^)2] + lkT.

mais on a aussi, en remplaçant dans la formule (k) les nombres a, b, c, d par a-\-b,b, c + d,d, ce qui est permis puisque {a4-6)e? — (c + rf)Z> est égala i,

tA±Él\ - [t' + ^r^l-^

^{las[-{a+b^/,-y]^ll

yGoosle

lOO CALCUL rlFFÉREKTlEL.

on en conclut

et il en résulte par répétition, en désignant par n un entier quelconque,

Ainsi les deux nombres [a, 6], [«', i] sont égaux si l'on a

« = « (mod./,).

223. Changeons aussi, dans l'égaiité (y.), -: en — -!■ ; il viendra

D'autre pari, en remplaçant dans la même égalité (x) les nombres «, b, c, d par les nombres — b, a, ^ d, c, on aura

Zhf.l^l±lr.i-^'-

log[^{^b + azr] + lh(^).

et la comparaison de ces deux expressions de Ih ^ — - va nous foirrnir une nouvelle propriété du symbole [a, b]. On a établi {n" 185) la relation

qui équivaut à la relation

comme on s'en assure immédiatement en supposant (7. = o, 6= i dans la formule

étatlie au n" 218 pour un entier positif quelconque b.

On en conclul, puisque 11i{t) est l'une des déterminations de !ogl.(-).

k étant un nombre entier qui, toujours en vertu du raisonnement fait au n" 181, ne peut dépendre de t, puisque les trois fonctions

sont univoques et continues pour les valeurs de t représentées par des points situés au-dessus de Taxe des quantités réelles; d'ailleurs, pour ■zr=i, on a évidemment ^ =:o; donc, on a dans tous les cas

l„5(-,.) + ll„,

et, par suite,

224. Supposons maintenant a>-o, 6 >>o et faisons la remarque préliminaire que voici : Si X est représenté par un point situé audessus de l'axe des quantités réelles, on pourra prendre pour l'argument 5 de ^ un angle compris entre o et ti; l'un des arguments de — x^ sera 2^ — ti, et cet argument est compris entre — -r. et +tc; par suite, le coefficient de t dans log(— «^) sera précisément i\ — Ti, en désignant par log(^3:^) la détermination principale du logarithme.

Soient donc \ [a, v les arguments, compris entre o et ti des nombres ■z,a-z — 6, a^ ~ qui tous ont pour coefficient de / un nombre positif. Observons que l'on a [j. > X : en effet, pour construire le point «T ^ 6, on peut construire d'abord le point az qui se trouve sur la même direction, ''partant de l'origine, que le point T, puis avancer ce point, sur une parallèle à l'axe des quantités réelles, dans Se sens des quantités négatives, d'une longueur égale à b : dans ce dernier mouvement,'il est clair que la direction qui va de l'origine au point mobile tourne dans le sens des rotations positives. Puisque l'angle [x — 7, est positif, inférieur à -TC et que ecl angle est \;ne des déterminations de l'argument de ) il ne peut différer de v. Il réstilte de là que le coefficient

103 CALCUL DIFFÉaENTIEL.

de / dans

l0g[-(..-^yj+log(-TÎ)-|0g[-CaT-6)î]

est

Dès lors l'égalité (y.) conduit à la relation

qui, en remplaçant [ — 6,«] par — [6,«], donne

a[a,b]-y b[b, a^-\- a%^ b^ + i -^ ^ab ^o.

Cette relation suppose a, b positifs ; mais il est aisé de voir, en faisant usage des relations (i), (a), (3), que l'on a, dans tous les cas où « et 6 sont différents de zéro,

(6) a[CT, 6]+è[;6, aJ + (t2-4-Ès^-i — 3aèsgji«i = o,

en désignant en général par sgnA, où a est un nombre réel quelconque difTérent de zéro, l'unité affectée du signe + ou du signe -— suivant que a est positif ou négatif.