Observons que le même raisonnement et

Io6 CALCUL DIFFÉWENTIEL.

clusions subsisteraient si, en conservaût les propriétés 2°, 'i°, 4°; on remplaçait la prejnière propriété par la suivante

le sj'mbole (-rj ainsi défini serait encore égal à ± i et par conséquent serait exactement le même que le précédent.

Dans l'un et l'autre cas la loi de réciprocité penl être remplacée par la formule suivante

Enfin nous aurons encore besoin de la définition du symbole ( r ) quand a est pair; b est alors nécessairement impair, si l'on veut que les nombres a, b soient premiers entre eux. Nous conviendrons alors de prendre

n étant un nombre entier impair tel que des deux nombres impairs a~+-nb et b l'un au moins soit positif; la définition est évidemment indépendante du nombre n et le symbole ( — - — ■ J se calculera par la règle précédemment exposée.

231 . Après cette digression sur les seules propriétés du symbole (-rj dont nous ayons besoin pour le moment, rappelons que, dans

l'expression (5) de b(T), c'est la quantité e " qui figure. D'après

la relation (Q), cette quantité est égale à e'^* ' ' . Les pro-

priétés (!)•■■ (7) du symbole [a, b] amènent à recbercber quelle est sur cette expression, l'influence de l'interversion des lettres a, b, à laquelle il faut faire correspondre le changement de c, d en — d, — c de manière à vérifier l'égalité

Soit donc

on aura

et, par conséquent,

en vertu de l'égalité ad — bc=i et de la relation (6), qui montre que N + N' est égal à 3sgn(a6).

232. On est amené à chercher à modifier, par l'adjonction d'un facteur convenable, la racine vingt-quatrième de l'unité considérée de manière que le produit qui remplacera

soit égal à

au lieii d'être égal à e '

Bornons-nous d'abord au cas où les nombres </, b sont impairs et positifs. Le problème posé sera résolu si l'on trouve une fonction '^{o, b, c, d) qui représente toujours un nombre entier et telle que l'on ait

car ou aura alors

[on a écrit cp et ç' à la place de fs(a, 6, c^ d),'f{b, a, ^ d, ~ c)]. Or l'équation de condition peut s'écrire

<fia,b,c,d)-hif(b,a, — d, ^ c) = 3 {a -h b — Q.)- ^ab-h abibo — ad), et l'on voit qu'on y satisfait en posant

f {a, b, c, d) = 3[b — i)-^ ab^c — ab — ao — bd.

233. Nous sommes ainsi amenés à considérer la fonction des quatre nombres a, b, c, d définie par l'égalité

OÙ M est un entier défini par l'équation

Nous n'imposons plus, pour le moment, aux nombres «, b d'autres conditions que d'être premiers entre eus el nous allons, dans cette hypothèse, établir les propriétés de la fonction (rt, b, c, d). Tout d'abord, elle ne dépend que des deux nombres «, 6, uar si l'on y remplace c, d par c -h na, d -\- nb, M est remplacé, comme il est aisé de le voir, par

M + «(«^-i)(6^-.); or l'un des nombres a, b est impair, l'un d'eux n'est pas divisible par3; il en résulte que le produit (a-— -i)(6' — i) est divisible par 24; l'accroissement de M étant divisible par 24, la fonction (a, b, c, d) n'est pas modifiée par la substitution à c, d d'une solution quelconque de l'équation indéterminée ay — bx = i. C'est ce que l'on avait annoncé.

11 conviendrait d'après cela de faire disparaître C, d du symbole (a, b, c, d) el d'écrire par exemple («, b) au lieu de {a, b, c, d). Nous conserverons cependant la notation (a, b, c, d) pour faciliter au lecteur l'intelligence des calculs qui suivent. 11 est entendu que si, a, b étant donnés, on adopte pour c, d une solution de l'équation indéterminée précédente, on pourrait tout aussi bien en adopter une autre.

234. Des calculs très faciles montrent qu'aux propriétés (1 — 9) établies pour le symbole [a, b] correspondent pour le symbole («, i, c, d) les suivantes

ia-hb,b,c-h d, d) = e"^''"'''"'"'''"^'"(«.6,c,rf),

yGoosle

â3â. La troisième de ces formules coïncide avec la loi de réciprocité relative au symbole ( r) qwand ab est positif : nous nous rapprocherons de ce dernier symbole en introduisant à la place de (a, 6, c, d) le symbole -r relatif à deux entiers quelconques a, b premiers entre eux et défini par l'égalité

Aux propriétés précédentes de la fonction numérique {a, b, c, d) correspondent les propriétés suivantes de la fonction numérique y 1, où a et ^ sont premiers entre eux,

mM-^ [^]^ [!]-'■'-

En écrivant, en dernier lieu, -, on suppose naturellement que a soit impair. La troisième de ces formules pourrait être regardée comme la loi de réciprocité relative au symbole r ■

236. Dans la seconde de ces formules figurent les nombres c, d dont elle est indépendante. En effet, si b est impair ou s'il est divisible par 8, le nombre ^{^^ — i) est évidemment divisible par i^; dans ces deux cas on a

si a est congru à a (mod. b). Si b est le double d'un nombre pai sans être divisible par 8, 6 (6^ ^i) est divisible par la et, comm 2 c -t- rf est impair, on a

110 CALCUL DllTiREKTIKL,

Enfin, si b est le double d'un nombre impair, comme on a

et que i+ 2« est divisible par 4, on en conclnt que 21; + rfest de la forme 4" + i ou de la forme /\ii — i suivant que a est d'une l'orme ou de l'autre. On a donc

011 il faut prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que a est congru à 4- 1 ou à — 1 (mod. 4)-

Il résulte aisément des diverses propriétés du symbole v que ce symbole est toujours égal à l'un des quatre nombres ± i, ±: i. Il suffît de raisonner sur ce symbole comme on a fait au n» 229 sur le symbole (^y

237. Dans le cas oii a, b sont des nombres impairs dont l'un au moins est positif, on voit qwe l'on a

La dernière formule suppose naturellement que n soit positif.

On en conclut que si a, b sont deux nombres impairs, premiers entre eux et dont l'un au moins est positif, le symbole j est identique au symbole ( y ) de Legendre, généralisé par Jacobi.

Lorsque a est pair et b impair, on doit prendre

où n désigne un nombre impair; mais alors a -H nb étant impair et l'un des nombres « + nb, b étant positif, -■■ , - - est idcn-

i FONcnoNS s.

titiue à ( — j — ■) en verUi des remarques antérieures relalives

Le symbole \-r\ est donc identique au symbole ( j 1 dans tous les cas oà ce dernier symbole a été défini : il doit en être regardé comme la généralisation.

238. Si l'on applique successivement les relations (^), (v) et (p), on a

En réunissant les résultats acquis, on voit donc qii mettre dans tous les cas la relation (S) sous la forme

(Xi,v„) h(T)-UU ,.>'''■' ' ■' '■t/„(«^

l'argument de y/ — (n + bx)- étant compris entre — 7 et + ^ et le symbole 1 -r étant défini par les propriétés ci-dessus du n" 237 qui permettent de le calculer.

239. On en déduit immédiatement les valeurs des racines huitièmes de l'unité e, z' , s", ^"' qui figurent dans les formules (XLII). D'après la formule (p), on a, dans tous les cas,

h(i) = '>v^^^6Th(T).

En élevant au cube les deus membres de cette relation, puis remplaçant b3(T) par sa valeur tirée de la relation (XLV,:^), on a immédiatement

(xin.) •=[?]' '""""■""""".

d'où, par les formules (XLll,s),

Le problème posé au n° 179 csL donc résolu.

240. Od peut écrire la formule (XLVis) d'une manière un peu diEFércntc de façon à n'y faire figurer que le symbole de Legendre- •Tacobi.

L'un des nombres a, b est impair et comme l'on peut dans