T— changer les signes de a, i, c, cl, on peut toujours

supposer que c'est le nombre dont on sait qu'il est impair qui est positif.

On distinguera donc deux cas :

1 " b impair et positif. Alors on a

ei, comme on l'a vu au n" 218,

ia partie rccUc de la racine carrée étant positive. Mais, comme b est positif, on a aussi

,si l'on entend par ^— i{a + 6t) celle des deux déterminations de la racine dont la partie réelle est positive : les arguments des deux

quantités e ^ja+b-: et <ij~i{a + b-i), dont les carrés sont égaux, sont, en effet, tous deux compris entre — y et + -■

On a donc, dans ce premier cas, puisque b'-—i est divisible

(XIV,.) •'(') = (f)'''"«"'^'""""""""'"V^'l« + ix)l,(,).

a" a impair et positif. En appliquant ia loi de réciprocité du symbole j donnée au n" 23o, on a, puisque a est positif,

LES FONCTIONS &. Il3

Mais, puisque a est impair, - est certainement identique à f - ji dont la valeur est + i ou --- r ; on peut donc écrire

D'ailleurs, comme on l'a vu au n° 218, on a aussi

la partie réelle de la racine carrée étant positive. On a donc, dans ce second cas,

Le coefficient de dans rexponcntlcUc est égal à

^(i — a)-\-2ab -^ acb^^ac — bd = Z(i — a) -h ah -h a-'bd — ac — bd: on aura donc finalement

{XLVM h(T)= (|)/Ve-^"""-'^'-'''""=-'V^Tï^ii(^)-

Les formules (XLVIs.e) ont été données par M. Weber ('), qui en a présente la démoastration sous forme de vérification.

Sii. On peut aussi écrire la formule (XLTIij) de manière à n'j faire figurer que le symbole (^-1 de Legendre-Jacobi; il faMi encore distinguer le cas où b est impair et positif de celui où a est impair et positif. On arrive aisément aux résultats que voici ;

i" Si b est impair et positif, on a

(xui.) .= (?);— "i—

2" Si a est impair et positif, on a

(xi,rr.) . = (?;);— -."'--.

{') Elliptische Faiictioneii, p. j T. el M. - IL

Il4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si l'on suppose que a et b sont impairs et positifs, ce qui ne peut arriver que dans les cas 3° et 4" du Tableau (XX^), les deux formules coïncident, comme il résulte immédiatement de la loi de réciprocité et de la congruence

ai ac-Hèrf — 2«— -iô-l-îso (mod. 8) qui a lieu en vertu de la relation ad — 6c = [, lorsque des quatre nombres entiers a, b, c, d, un seul, c ou d, est pair.

g VII. — Transformation quadratique des fonctions Thêta.

242. Aus formules précédentes qui concernent le cas où les quatre entiers a, b, c, d caractérisant la transformation considérée sont liés par la relation ad — bc = i, viennent s'ajouter, comme dans l'étude des fonctions du, d^u, d'autres formules qui concernent le cas où le déterminant ad — bc est un entier quelconque. Cet entier est Vordre de la transformation. Nous envisagerons (l'abord le cas où il est égal à a.

Le raisonnement du n" 130 s'applique aux fonctions 2f(i') aussi bien qu'aux fonctions fjii, ^hH, avec cette restriction que les systèmes de demi-périodes improprement équivalents au système (oj,, tDg) sont exclus {n° IM) pour les fonctions ^(c). Il suffit donc de considérer la transformation d'ordre a où l'on change u, en — sans cbanger Wg, ce qui revient à cbanger c en ai" et t en 2 1, et la transformation d'ordre 2 où l'on cbange W3 en — sans changer w, , ce qui revient à changer simplement t en - ■ La première de ces deux transformations est la transformation deLanden, la seconde est la transformation de Gauss.

243. En combinant les formules concernant ces deux transformations et celles que l'on en déduit immédiatement concernant les transformations inverses, entre elles et avec celles déjà établies qui concernent la transformation linéaire, on aura toutes les formules de transformation quadratique des fonctions 2r(c), Les formules de transformation dont l'ordre est une puissance entière de 2 s'obtiendront de même, par la combinaison et la répétition des transformations précédemment définies.

LES FONCTEOKS S. tl5

244. Nous allons donc chcrcber à exprimer, d'une pari, les fonctions ,3(2f|aT), d'autre part les fonctions 3/c^j, au moyen des fonctions ^{v |t).

Nous désignerons, comme nous l'avons déjà fait à propos des fonctions tf M, daii, par de petites capitales, les constantes relatives aux fonctions fi [«1^1 (Dj], cia( h | "^ î oijJ et S(9.c|3t). Ainsi nous poserons

Q = çî =-■ eî

Les quantités q, Qa, yi, Qs, Qj sont d'ailleurs lices par les mêmes relations algébriques (X.XVlIl5 o) que les quantités q, q^i

Nous désignerons de même par de petites capitales accentuées les constantes relatives aux fonctions rf f « [ (d, , — ^ j, ^a[u\i>>\.—\ et S(''!^)- ^insi

io« = TT(i - q-'\ c', = iT(i -^ 1"),

On a évidemment, d'après les expressions de Qc, q^,

(XLVilO Qa = qaqu o,^=ï!'?3= ^'

d'où l'on tire inversement

l6 CALCUL DIFFERENTIEL.

De même, d'après les expressions de q^, q\, qÔ, q[, on ii

(XLVlIls) o;^y„y3, q;= — ^yiy,.

245. Transformation de Landeii. — Si l'on passe des fonctions rf, rfa aux fonctions Sf au moyen des formules (XXXIIIt^,), on a le moyen d'exprimer les fonctions Sî(ai' ] 2t) au moyen des fonctions Sr(f Jt). Par exemple, la formule (XXll, )

A cause de la valeur (XXU^) de Hi, on voit que le facteur exponentiel est le même dans les deux membres; on trouve ensuite très facilement, en réduisant au moyen des relations déjà écrites (X.LVIL) entre Qu, Qa, ^o, ?i, ^ï, '/'s, 'a formule

On a d'ailleurs

la dernière égalité ayant lieu en vertu des formules (XXXVl^) qui seront d'un usage constant dans ce qui suit.

On trouve de la même façon, au moyen de la formule (XXIIlj),

Au reste cette dernière relation aurait pu anss

celle relative à 2ri(3('|2T) en remplaçant c par v H- - et en se servant des formules (XXXIVo). On a, en effet, par ces formules

et il suffit de remplacer dans l'égalité qui donne l'expression de S, (3u| 2t), pour avoir celle qui fournil l'expression de £r,(2C | ar). Inversement, par la même opération, on passerait de cette seconde formule à la première.

Si maintenant on fait la substitution des fonctions & aux fonctions rf dans les formules (XXIII,); si l'on remplace ensuite y'ei — fis , v/c) — Cg par leurs valeurs (XXXVlj, ^ )

D'ailleurs on trouve très aisément

^ Q'QoQ^ T i

On a donc

Exactement de même, en parlant des formules (XXIII2), 00

4q*Ooq!

et l'on a d'ailleurs

yGoosle

]l8 CALCUL DIFFERENTIEL.

246. On prévoit que l'on doit pouvoir transformer l'une dans Vautre les relations qui fouraîssentles expressions de ^(^(ac | 2 ■7), S3(2t>| a-r), en changeant c en f + - et en se servant des formules (XXXIV e). Mais tandis que, tout à l'heure, ce changement ne nous a rien donné de plus que ce que nous savions déjà, il va, celte fois, nous donner des relations entre les constantes. Si, en effet, dans les relations du numéro précédent, OQ change c en V + ^1 on trouve, après des rédactions immédiates,

Ces formules comparées aux précédentes donnent

&s(ohO

4 0'* Qo 0^

»3.Ci") ' <„:„.„. lUti-ti) - 3î(o)-3i(o)

(XLviï,: