Les formules

(XLIXo)

qui expriment g^i Çtt ?2i ?3 ^0 fonction de t, se déduisent immédiatement des formules de déGnîtion des fonctions /i(^), <p(~), 'H')' X('^) et des formules (XLIXs).

2S3. En combinant les transformations de Landen et de Gauss, on obtient les expressions de 2ri(ai'), Sa+i(2<') au moyen des fonctions &(<').

La première des formules (XLVII3), par exemple, peut s'écrire,

( ' ) Cette intéressante remarque est dae à M. Dedetind : Ueber die Théorie der elliptischen Modulfunctionen {Journal de Crelle, t. LVIII, p. a83). Dans les ElliptUcke Functionen de M. Weber, lea résaltats sont donnés pour les fonctions

yGoosle

en changeant x en -i

mais, d'après la formule (Xl.VUIa), on a

I \,\ a5,(|.h)a.(Ht)

s,(,.i.)a,(i.|T) , K°ll) '

donc, comme, d'après la formule (XLVill.i), on pcnl, remplacer 2lr;(o - ) par le produit 2 3ï(o]t)33(o |t), on obtient la relation

On a (le mcme

5 K'')^ï('')-^U'')Sr!(")