VIII. — Transformation d'ordre impair des fonctioas
âS-i. Dans l'éUidc de la transformation des fonctions S, nous n'avons envisagé jusqu'ici que les cas où l'ordre de la transformation est égal à I, à 2 ou à une puissance entière de a. Novis allons étudier maintenant les transformations dont l'ordre est impair et positif, transformations qui se ramènent (n" 130) à celles 011 l'on change w, en ~ sans changer 0J3, ce qui revient à changer \> en nv et t en «t, à celles oii l'on change w, en — sans changer Wi, ce qui revient à changer seulement x en -^j et aux transformations inverses.
En combinant les formules de transformation que nous obticn-
126 CALCUL DIFFËUENTIEL.
drons ainsi (' ) enlre elles et avec les formules de transformation linéaire et quadratique des fonctions 3, on peut obtenir en effet, d'après le théorème démontré au n" 131, les formules de transformation d'un ordre quelconque positif Q. Il n'y a d'ailleurs pas lieu de considérer celles dont l'ordre est négatif, car nous avons supposé essentiellement (n" 131) que les coefficients des parties imaginaires des rapports — et rr^ des périodes à l'aide desquelles on forme les fonctions 3(i') sont positifs.
253. Nous allons donc chercher à exprimer, d'une part, \c>. fonctions 3(7it!]nT), d'autre part, les fonctions Sfc -1 au moyen des fonctions St(c | t).
Nous désignerons, comme nous l'avons déjà fait à propos des fonctions du, daU, par de petites capitales les constantes relatives aux fonctions rf( h — , w, ), da(u\-^ > i^A et 3 (ne | «t). Ainsi, nous poserons dans ce paragraphe
Q.-fI(. + ?"«■'->'), Qi--J|{i -?'"*-'-").
Les quantités Q, Qu, Qi, Qa, Qa sont d'ailleurs liées par les mêmes relations algébriques que les quantités q, q^, ^i, q^, q^. Nous poserons aussi, pour abréger,
Til^ =«7 = 5^'^''
"-■li
Ul
%<P) = ^ = 2??yoçS
= ^QlQoQS
%i°> = ~ =qî9'>'
^ Âi
-QIQo.
-QiQ.,
(') II suffirait même de ne consii tion est un nombre premier impair simplification auï formules que noi
Jérerque LIS allons <
le cai étaWir
i où l'oi îtriclioB
■dre de la transforma- L n'apporterait aucune
LliS l'OiVCTIONS &. 127
ce qui permet d'écrire comme il suit les formules (XXSIII)i), qui relient les fonctions rf aux fonctions S, et celles que l'on en déduit en cliangeanl (o, on — :
En substituant ces dernières formules dans celles (XXVIi) qui expriment les fonctions -ilul — y W3I, da(u\ — ' W3). au moyen des fonctions du, ^kï*, nous aurons immédiaLement
où r doit prendre n — e valeurs entières dont aucune ne soit divisible par II, non plus que la différence de deux quelconques d'entre elles, et on fp représente l'expression
En se reportant à la valeur de h, (XXI5), on voit de suite que celte expression est nulle. On a donc finalement
3,(„,i»,).|-;3.wn477.Y-
CALCUL DlFFÉHliNTIlîL.
Les constantes ■;--"-' sont des' fonctions de q. Il en est de même dos produits
qui figurent en dénominateur. On peut évaluer chacun de ces quatre produits en supposant que r parcoure seulement la moitié des valeurs qu'il doit prendre, c'est-à-dire, d'une façon précise,
en supposant qu'il prenne valeurs r,, /'s, . . . , /-„, dont
auciine ne soit divisible par n, non plus que la différence ou in somme de deux quelconques d'entre elles; les — ; — valeurs restantes seront congrues, dans un certain ordre, suivant le module «, à celles-là changées de signe, et le produit correspondant sera égal, au signe près, au produit que nous allons calculer, comme on le voit tout de suite en se reportant ans formules (XXSlVa^j).
2o(i. Pour évaluer les produits
reportons-nous ans formules (XXXU^., 4,-j), et reinplaçons-y
d'ailleurs, si l'on pose ctlcproduil
comme on le voit en se rappelant que les nombres
n'étant point divisibles par n, non plus que la ditfférence de deux quelconques d'entre eux, sont congrus {mod. /i), dans un certain ordre, aux nombres i, 2, . ■ ., n — i, et que l'on a, s étant une racine primitive ri''™' de l'unité.
On peut donc ceiûre et, de même,
T. et M. - II. a
ils s'évaluent sans peine comme li suit. D'abord le signe dn premier dépend du nombre de facteurs négatifs qui y figurent : or sin — est positif on négatif, suivant que la partie entière E(-] de -> définie par les conditions précises
est un nombre pair ou impair; le signe du premier produit sera donc celui de
De même, puisque l'on a
le signe du second prodiiit sera celui de D'ailleurs les nombres
étant certainement congrus, dans un certain ordre, suivaiii dule n, aux nombres
sont cerf.ainement congrus, dans un ceruin ordre, aux nombres
(1 sorte que l'on a (')
( ') Voici l'un des procédés qui condui
3ï( ■-■! valeurs de S", (A' = 1,3,..
On s d'ailieurii
arquant que I I a^t est égal à i, o.
Or si, dans Tiiquatioii proposée, on fait
on forme l'équation en »
dont les racines, qui ne sont autres que les valeurs distinctes de x\ pour produit (— i)"-'/!. On en conclut
32 CALCUL DII'I'ÙUENTIEL,
On en conclut d'aliord
uisqui; les deux incmlires sont éviileEiiriitiit positifs. On en dédui
0[i linuvc de iiiÉii
(') La première de ees formules donne un résultat asscK intéressant en auppo- Cette identité est duc à Enlcr,
