IV

LES fONCriOKS S.

oii l'on a pose, pour abréger,

C|i j étanlle produit de

y(«+p)|[W-ps|'+^pl■ll[^-pî)-^apla+PlJ=+SIfil-s

Le produit des deus. fonctions S, (a^ I a-:), ^^(^1^-;) peut doi être mis sous la forme

Séparons, dans l'expression de C[j,^j, les facteurs qui ne dt5pendent que de p. + p5 el ceux qui dépendent de s seul; nous aurons

En tenant compte de cette dernière forme pour évaluer 2j Cmj et en observant que, 5 restant Use et |jl prenant toutes les valeurs entières de — ûo à +oo, s' = jj, + ps prend aussi toutes les valeurs enlièrcs de — oc à -i-œ, on voit que la soininc j" C^^.. est le produit do par

01' cette dernière somme n'est autre eliosc que

yGoosle

par suite, enfin

xS.[(ii.- «7 H-, -4= !.?(« + ?),),

la dernière égalité ayant lieu en vertu de ce que le premier membre ne change pas quand on change a en ^ çt X ea y, simultanément. C'est la formule annoncée,

286, Pour a= I, p;= i, l'égalité précédente, en tenant compte des formules (XXXIVo), devient

En changeant dans cette formule x, y en x + -, y-H -, on obtient encore

Observons en passant que, en faisant x=y, on retrouve deux, des formules relatives à la transformation de Landen.

Ce sont les formules (LVIIIa.g) C|iii vont nous conduire à l'identité de Jacobi. Si l'on désigne par x, y, z, te quatre variables Indépendantes, on en déduit, en appliquant ces formules d'une

r.Es FONCTIONS ^. 167

part aux variables x, y, d'auLre part aux variables z, w, et en formant la fonction

que celte fonction s'exprime très simplement au mojen des quatre qaantités

%(^ ~y I 2T)&3(2 ~ iv 1 a^) + %,{^ ~y I 2^)S,U -^^\i ^^(^ - r h^) 3î(^ - -V I 2T) + 3,(3.- j [ l-c) S,(^ - <v 1 ,

Après une transformation algébrique facile, on voit qu'elle est égale au produit des deux premières augmenté du produit des deux dernières. Mais, en vertu des équations (LVIIK.a) ellesmêmes, ]es quatre quantités que nous venons d'écrire sont respectivement égales à

On obtient donc bien ninsi l'identité de Jacobi.