LVII3) T^-,-T',-T'J= (I

( Ti— t;~t;=-. 0.

Sans nous arrêter aux équations que l'on peut déduire de celles-là par les permutations des lettres a, b, c, d, observons qu'on en

{') Deuxième édition, iiv. VII, p. 486 ei C) Journal de Crelle, t. 102, p. 560.

tire, en ajoutant

(LVIIO

1 T3-f-Ti = T5-i-T:,

d'où, en penmitaat

. clrculalrement i, c, d,

(LVIU)

283. Ces identités ont été données par Jacobi sous uae forme A peine différente. Considérons, par exemple, ia relation

Tj-i-Tj.-^ T;-i-T',.

Si l'on pose

a -i- è — (f, a — & — 3!, c--\-d = y., c. — ci = =,

on voit de suite que cette identité peut s'écrire

S,(«.)3,(3.)3-,(r)2r,(^) + 2r,(«.)2r,(^)%(jr)33(=)

■en regardant les variables x^ y, s, iv, a;', y', :d , (i^ comme liées entre elles par les systèmes équivalents d'éqnations

284. C'est d'ailleurs par une voie tout autre que Jacobi paryient à cette identité : cette voie est directe; elle consiste à effectuer la multiplication des séries qui représentent ^^{(v), ^^(a;), ^'ii,y)i ^sW' S3(<''). • ■ •■ Outre son intérêt propre, elle offre un grand intérêt tliéorique ; elle équivaut, en effet, à wri' principe dans la théorie qui nous occupe. Le lecteur n'aura auciine peine à recon- 'uaître que de cette identité el de celle qu'on en déduit en ajouitant à une ou plusieurs des variables i, t, i + ~, -' -' — — -, on

LES FONCTIONS S'. l63

peut tirer très facilement les relations entre les carrés des fonctions S, ou entre les produits de deux fonctions 3 avec les arguments X -{- Xi X -—y, qui ont été obtenues dans ce paragraphe au moyen du théorème de M. Hermite; en sorte que l'identité de Jacobi peut, comme l'auteur l'a montré lui-même ('), servir de fondement à une théorie des fonctions elliptiques, Rronecker, dans le Mémoire précédemment cité, a amené l'analyse de Jacobi à un haut degré d'élégance et de généralité, nous ne la reproduirons cependant pas. Nous donnerons de préférence, pour initier le lecteur à ce genre de spéculations, la démonstration d'une belle formule qu'on doit à Schroter, formule dont un cas particulier nous conduira facilement à l'identité de Jacobi et dont nous aurons d'ailleurs à tirer parti plus tard, pour la formation des équations modulaires. La formule de Schroter pourrait être établie autrement que nous n'allons faire (^); le théorème de M. Hermite, qui a fait le premier objet de ce paragraphe, offrirait, en particulier, un chemin pour y parvenir,

285. Désignons par ^, [i des nombres entiers positifs et envisageons le produit des deux fonctions âj {x \ kt), Sa {y | pT).

En se reportant à l'expression (XXXIIj) de ^^(i' l-r), on voit que ce produit peut être mis sous la forme

OÙ le second membre est une série à double entrée, absolument convergente, dont les termes peuvent être groupés comme l'on

(') T/ieorie der elliptisciten, Fimetianen, aiis deii Eigenscliaften der Tltétafuaclione/i abgeleitet (,Œu«res, t. I, p. (jgg),

(') M. Heratowaki {Math. Annalen, t. XI, p. i-sg) parvient à cette formalc, ainsi qu'i d'autres relations que nous rencontrerons plus tard, en effectuant la multiplication des produits infinis qui représentent les fonctions 3.

Sauf quelques modifications sans importance, nous reproduisons ici (n" 285-286) l'analjse de Schroter d'après Enneper {EUiptiscIte Funclioneit : Théorie und Geschichte, 2' édit.). Puisipie nous avons l'occasion de citer cet Ouvrage, excellent à bien des égards, il convient de signaler au lecteur, en particulier, la richesse des renseignements historiques et bibliographiques qu'il pourra ypniser.

l64 CALCUL DIFFÉKlîSTIEL.

veut, Nous supposerons d'abord qii'oa effectue la somme

on aura ensuiie à elTecUier la somme X ■'^ti-

Il est clair que, [s. restant fise, lorsque v prend toutes les valeurs entières de — <x> à -\- m, il en est de même de v — p. et in- ^ersenaent. On peut donc remplacer, dans l'expression de A|i, V par U.+ p, et faire prendre à p, comme à v, toutes les valeurs entières de — oo à + oo. D'un autre côlé, si l'on désigne par s un nombre entier quelconque, el par ;■ un des nombres o, i , 2, . . . , a + '^ — 1 , il est clair qu'un nombre entier p peut, et d'une seule façon, être mis sous la forme

Réciproquement, quand on donne à s toutes les valeurs entières de — 00 à + co, et à ;■ tontes les valeurs o, 1,2, . . . , a + ^ — 1 , l'cKpression (a + p)s + ;■ représente successivement, et cbacnn une fois seulement, les différents nombres entiers de — co à -^ co. On peut donc, finalement, remplacer, dans Au., l'indice v par

et donner ensuite à 5 les valeurs entières de ^ k^ à + oc; à /' les valeurs entières de o à a -h ^ — 1 .

Par celte siibstilutiou, on trouve, après des réductions immédiates,

l^a^ + vj = (fj-^ ^s)(a! -i-y) + s(:ty ~ ^3!) -h i-y.

Si donc, dans A^, on groupe les termes où /■ est le même, et si l'on remarque que dans tous ces termes on peut mettre en facteur g^'' et e^''^''-", on voit que l'on peut écrire