I. — Développements des fonctions s'a, s'a

151. Les fondions rfM, d^u de M. WeiersErass, que nous avons étudiées particulièrement jusqu'ici, offrent, en raison de leur symétrie, un grand intérêt et une grande utilité; mais celte symétrie même laisse confondues des propriétés que l'emploi d'aulres éléments analytiques permet seul de démêler.

Ces nouveaux éléments analytiques ont été introduits dans la Science par Jacobi : leur découverte est assurément un de ses plus beaux titres de gloire {'). Ils peuvent être, comme on le

(') Voir Lbjeune-Diriciilet, Gedàchliiissrede au/ Jacobi {Œui, cobi, t. I, p. i4)>

2 CALCUL DrFFÉREKTIEL.

verra bicnlôt, étudiés directement sur Jeiir définition ; leur étude peut aussi être rattachée à celle des fonctions rf«, rfati. Ils se présentent naturellement quand on développe ces dernières fonctions en série, sous une forme que nous allons faire connaître ( ' ), Dans ces développements en série, comme dans les fonctions de Jacobi, les deux périodes ne joueut plus le même rôle. Nous ferons désormais la supposition suivante, qui est essentielle :

Le coefficient de i dans le rapport -

sitif.

Cela revient à admettre que l'angle formé par les deux directions, qui vont ^u point o aux deux points 2 «t, 2(03 du parallélogramme des périodes, a la disposition directe.

D'autre part, nous ne considérerons plus que des couples (2B(, 2ft9) proprement équivalents au couple primitif (3 W), awj) de sorte que le coefficient de i dans le rapport — sera aussi positif et qu'il faudra toujours prendre le signe supérieur + dans les formules (Xo) et (XXj); ainsi l'on aura toujours

rsSii =-i

1S2. Nous allons d'abord mule (X|) qui donne l'espressi entrée, de la fonction d, ainsi (XVIIs.s), relatives

Nous emploierons

une auti'c forme la forion en produit infini, à simple que les formules analogues fonctions rfi, <i-~, d^.

aotations suivantes (-)

(') C'est la marche sui vevsité de Berlin; c'est Lekrsàtze.

vent employé 1b symbole w pour repi'éaenter le rapport - 1 adoptée par M, Weber {ElUptische Fa/icti neit ui

en vertu desquelles on a imraédiatemenl, par la formule d'Ealer sin5c= — .(e'^ — e~''^), les égalités

D'ailleurs, à cause de la supposition du numéro précédent, (a valeur absolue de q est inférieure à un, d'oii il résulte que les produits

sont absolument convergents, La formule (X, )

^«[-Sf]

algebraische Zahlen). M.Weierstrass et M. Schwarz {Fonnelii and Lehrsdtze) désignent par h l'exponentielle e"'; de mÉme ils désignent par H„, H,, H^, H, les fonctions de q que nous désignerons {n» 154} par g„, q,, q^, q^. Dans beaucoup des formules qui suivent, c'est q* qui figure seui; aussi a-t-on souvent employé une lettre pour désigner ç'; M. Klein emploie la lettre r, M. Hermite s'est quelquefois servi, dans ee même sens, de la lettre Q, que nous employons avec nne signilication tout autre.

peuvent donc s'écrire

ou encore, si î'on tient compte de la relation

,xx,x., .■.^...■.■ig,i.„n -'';:i°-;+ -îi-.

De même les trois formules (XVIIs^s ) relatives à rf, u, :>■> u, ^3 u peuvent s'écrire chacune des deux manières suivantes :

ïiTliig!zi£:!'ffl ±9"-f li (■+«■—)■ ' 'ff^^^'i^TT "''"."'."

JLJL I — ç"'-' J.X 1 — 5''"-'

1S3. En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres des égalités précédentes, on obtient pour î^ii, î^i h, tj^ h, ÇjW des expressions intéressantes que nous laissons au lecteur le soin d'écrire; les séries que l'on trouve ainsi permettent d'obtenir, pour ces fonctions, d'importants développements en séries trigomélriques; c'est un sujet que nous reprendrons plus lard.

Signalons toutefois, en passant, la forme que prennent les for-

LES FONCTIOKS &.

nies (XVItî) avec les notations actuelles, à savoir

( (3) .;^V|.»„=-3Ca Joignons à ces forninles cell(

(xxxo

[e Ai-«'")'J

qui n'est antre chose que la relation (Xi) écrite avec le nouveau sjstèmc de notations. En ajoutant les trois premières égalités, en se rappelant que e, + e^ -\- e^ esl nul, et en comparant le résultat à la dernière égalité, on trouve la relation linéaire qui suit, entre les quatre séries qui figurent aux seconds membres des formules (XXX,,),

iM. Revenons maintenant aux égalités (XXIX) du n" 152 dont les conséquences et les transformations font l'objet principal de ce paragraphe.

Tout d'abord, nous remplacerons, dans ces formules, u successivement par (U), tù2, 1^3 de manière à avoir les développements en produits infinis de rfwn, rfpwa.

Remplacer u par <ij,, to^, (ûq revient à remplacer v par-i — ^

- et z par

On observera que, en vertu de ces égalités même, les notations q-, q ^, que nous remplacerons à l'occasion par \/q,-y^

6 CALCUL DIFFËlIGNTir.L.

ne compoi'tenl aucune ambiguïté. Nous serons aussi amenés '

écrire V'"'! î") Vï^' ?"' "^ désignant un entier quelconque et / un entier positif quelconque, et nous entendrons par là

(XXVIIIj)

de sorLe que les sjmboles J/f™, /", ^q'", q" ne comporleronl jamais aucune ambiguïté ; nous disons cela une fois pour toutes.

Comme les produits infinis qui figurenl aux dénominateurs des formules (XXlXi.,) s'introduisent dans un grand nombre de formules, nous poserons aussi, pour abréger,

i î. = JJti - 5"), gi - yj(i - q"-"):

(XXVîlIO ( "=^ ""l

Les quantités q^), q,, q-, qs sont liées par une relation algébrique qu'on obtient immédiatement on remarquant que les produits inlinis

nc-ro, n(.+,«)

étant absolument convergents, on peut écrire

^J'» = JJ(,i-5")II(i + ?").

puis, en groupant dans cbaque produit infini partiel les facteurs pour lesquels n est pair, d'une part, et ceux pour lesquels ?i esi impair, de l'autre.

yGoosle

15S. Si nous mettons w,, w^, (1)3 à la place de U dans le facteur e^^."."' qui figure partout dans les formules (XXIX), nous trouverons respectivement

Les deux dernières quantités se transforment comme il suit l'égalitc

montre que l'on a

on aura donc

on trouve de même

Dès lors le calcul des diverses quantités rfua, d^Wa ne présente aucune difficulté. En remplaçant, par exemple, dans la formule {XXIXj), u par o^, z par —z=> z^ par — -i on trouve de

En observant que l'on a

on obtient donc l'égalité

8 CALCUL DIFFÉBBNTIEL.

Le calcul se fait de la même façon pour les autres quantités et l'on trouve finalement les résultats qui figurent dans le Tableau suivant, dont la disposition s'explique d'elle-même

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