Ces rcsidtaLs et la formule (Xl
nous permettent d'exprimer au moyen de (o,, q, q^, q,, q^, q^ les six radicaux \/ep — fia ; on trouve immédiatement, après des réductions qui reposent seulement sur la formule (/, ffa^j :=t: i, les expressions suivantes
1 <Je.i— 6^ = — ~^qlq\q^ (XXXis) ! /ei — 63= -^qlq'h
\ /e, — ej= ~^-qlql-
Le calcul des auti'es radicaux et les formules {XIII4) fournissent une vérification.
«Jes expressions mettent bien en évidence ce fait, établi au n" 119, que les trois quantités y'ej — e^, \/e, — 63, \/ei — e^ sontdes fonctions homogènes et du degré — i des demi- péri ode s (ii, , u^.
Les expressions de e^ — e^, C) — «3, e, — e^ au moyen de q, qe, q\i S'a» qs nous fournissent une seconde relation algébrique entre ces dernières quantités, à savoir
(XXViiio if'qq\ = q\—ql\
c'est en effet la conséquence immédiate de l'identité
157. Nous définirons sans ambiguïté les racines quatrièmes des différences e^ — e^, 61 — 63, e^ — e^ et la racine huitième du discriminant (J de l'équation
eu posant
(XXXI.) Vq . Y^;:^, V':-', ;/«,-»,= •■;Tr l/,i-»?S?'
Dans toutes ces formules la signification de l / — — est la même; elle peut d'ailleurs être fixée arbitrairement.
1^. Les produits infmis qui dans les expressions (XXIX) obtenues pour du, tfjfi, diU, dîU figurent au numérateur sont susceptibles d'être développés en séries convergentes, d'une forme
très simple, entières en q ou en ^'^O-
é développé par M. Bieliler, qui
10 CALCUL DIFFÉHENTIBI.-
Considérons d'abord le produit infini qui figure dans l'expression de o'^if el posons pour un inslanL
X (l -h qz-i)(l -^ 5,32-S).,.(H çîli-ls-!).
11 est clair qu'on peut écrire
«„, a,, . . ., a/„ . . ., a„ éLaoi des fonctions entières de q. D'ailleurs la définition de ^(s) montre que l'on a
d'où
ç(ï3)(î5^+ yî") = <f (3)(l + ç'"+U').
En remplaçant, dans cette identité, f{s) et f (ç's) par
puis en égalant dans les deux membres les coefficients de 3"-*+-,
donné diverses applications intéressantes en envisageant les transcendantes considérées comme des limites de fonctions algébriques (Jownal de Crelle, t. 88, p. i85). Le principe en est d'ailleurs dû à Cauchy (Comptes rendus, iS^S).
Observons encore que M. Schellbach dans l'Ouvrage intitulé ; Die Lehre von den elUptischen Integralen und den Theta-Functionen {BevUn, iSËj) a pris les produits infinis comme point de départ de la théorie des fonctions Thèla. Jacobi, luimême, avait signalé les avantages de cette marche.
En rcmplaçanL su^cessivenienl k par k — i, A' — a, . . ., i, et nii multipliant membre à membre les égalités ainsi obtenues, on
[,y=.-,.u.)(i^M+u-i,...(,g.î«+î) D'ailleurs, sur la définition de 'f (s), ou volt que l'on a
pav suite,
En remplaçant ««, dans l'expression obtenue pour «(, pav la valeur que fournil cette dernière égalité, il vieut
'■ il-q'){l-q-)...{l-q"') ([- g'^— >) . . . (l - î"^^-2*)'
OU encore
en faisant, pour abréger,
„',, (, ,.»-.i«)(, ,.,.-.tu) ...(,-,..) x(,-,"»>»«)(i-î"«««).,.(i-3").
li est d'ailleurs manifeste que, quand n grandit indéfiniment, a\ a pour limite l'unité, à cause de la convergence du produit infini
On voit aussi que tous les nombres a'/, restent, en valeur absolue, inférieurs à un nombre positif fise a', indépendanl de n, par exemple au produit infini convergent dont le m"'™' facteur serait
Ceci posé, considérons l'expression
F,w = (,-<,■)(!-,•)... (,-}")t(^); on a, d'après ce qui précède, l'égalité F„(2)=M-o',,(î>+!r>K...+ ,iiî"(2»-i-2->»)+...+«.î"'(2"»+»-"');
et l'on voit sans peine que, si l'on f ail croître «indéfiniment, F,i(;) a pour liinile la somme de la série
Que celle série se de ce que la série
it absolument converge
te. c'est ce qui rcsi
ÏS^-r
est elle-même absolument convergente, ainsi que celle qu'on en déduit en cliangeanl s en - : en effet, i/\(/"''z''" \ = \t/"z^ \ tend vers zéro quand ii augmente indéfiniment. Regardons mainlenanl q el z comme des nombres donnés : il est clair que l'on a
par conséquent, dans le développement de Fn('S)i l^- valeur absolue de la somme des termes qui suivent le terme de rang k est inférieure à la somme, multipliée par a', des valeurs absolues des termes qui, dans la série F(3), suivent aussi le terme de rang k; or, en prenant k suffisamment grand, on peut supposer cette dernière somme moindre qu'un nombre positif arbitraire e. D'un autre côté, k étant ainsi fixé, puisque, lorsque n augmente indéfiniment, a[, «j, .,., a'^^j ont pour limite l'unité, on peut prendre n assez grand pour que la différence entre la somme des k premiers termes de F(s) et la somme des k premiers termes de F„(s) soit moindre en valeur absolue que s; on aura, dans ces conditions,
ce qui prouve bien que F/i(2) a pour limite F(^), quand n grandit indéfiniment.
Observons en passant que, si l'on désigne par A un nombre positif quelconque, on reconnaît immédiatement, sur la forme même de la série dont la somme est F(s), que celte série est absolument et uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de z qui vérifient les conditions
LES FONCTIONS 5. l3
Eq effet, OQ voit, sons le bénéfice de ces conditions, qne les valeurs absolues des termes de la série F{z) sont inférieures ou égales aux termes, tous positifs, de la série
H.2|y|Aî + ...-H2|?'"|A="H-...,
série dont la convergence résulte des remarques précédentes. Il suffildès lors, pour établir la proposition énoncée, d'appliquer le théorème du n" 24.
1S9. Nous avons établi l'identité
et, par suite (XXIX3), l'égalité
nous obtiendrons des identités analogues pour les autres fonctions duea changeant u en u -\- ni, , u — lù-^^ w ■+- wj, ce qui revient à
changer c en c H — > v H ^^^^ ) f + - ■
ParcKemple, si l'on change u en u — w^, et si l'on tient compte de la formule (XHj)
on obtient l'égalité
en posant, pour abréger,
Si l'on se reporte d'ailleurs aux valeurs de rfii)^, e^"' qui ont été établies au n" 153, si l'on se rappelle que-zi^o), — ï,t'^ï ^st égal à — f on trouve
l4 CALCUL DIlfFÉBENTIRL.
on a donc
On obtiendra de même, en changeant u en ?f + Wj dans l'e pression de (iaM, l'égalilé
et, en ciiangeanE dans la même expression u e
II, — Relations entre les fooctions ï et les fonctions S.
160. Les développements des fonctions ^w, d,u, rfjH, rfjK auxquels nous venons de parvenir nous amènent à introduire quatre nouvelles fonctions de la variable f = Nous poserons (')
ÎI,(>
St(
On reconnaît directement, sur la forme même des séries qui figurent dans les seconds membres, qiie ces séries, regardées comme
(') Les notaLions relatives aux fonctions ^ sont celles que Jacolji a introduites pour la première fois dans un cours professé eu j835-i836 à l'Universilé de Kœoigsberg et qu'il a ensuite employées plutôt que celles des Faiidamenia dont nous parlerons plus loin. Il ne met toutefois pas d'indice lâ ob nous mettons l'indice 4 et il écrit ^^{VTc) là où nous écrivons &„{o) (Werke, 1. 1, p. Soi). M, Weier-
dépendanlde la variable c, sont absolument el uniformément convergentes dans toute région limitée du plan où l'on figure cette variable. En effet, un raisonnement tout semblable à celui de la fin du n" 158 montre C[uc la série qui définit la fonction S3(i') de la variable v est absolument et uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de c qui vérifient les conditions
i  est un nombre positif fixe quelconqui
strass, M. Schwarz, Halphen mettent l'indici
variable est lu même qae dans notre texte.
M. Hcrmiie a employé ta notation conden
p, q étant des entiers quelconques. Cette dernière formule, â elle seule, coniient les vingt-quatre formules (XXXIV ,,) que nous écrivons plus loin explicitement; on voit assez, par ce seul exemple, les avantages que cette notation peut présenter dans
bien des cas. Ajoutons que les léros de 9„,5(f) sont congrus a £ 1 t,
laodulU I, "E.
Les notations de Briot et Bouquet {Théorie des fonctions elliptiques) se rattachent ii celles que nous avons adoptées en posant
l6 CALCUL BIFFÉREHTIEL.
immcdiatemcnL i^ue ces conditions reviennent à dire que, dans t', le coefficient de ( doit être moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe, d'ailleurs arbitraire. On pourrait faire le même raisonnement sur les autres séries, mais la façon dont on passe de l'une aux autres permet de s'en dispenser. Ainsi les fonctions ^ sont des fonctions transcendantes entières en c, et les séries qui les définissent peuvent êlredifférentiées, terme à terme, par rapport à c. On reconnaît de même que ces séries peuvent être difl'érentiées, terme à terme, par rapport à 17 ou par rapport
161. En groupant ensemble les termes pour lesquels les exposants de e sont égaux et de signes contraires, et en tenant compte des formules d'Euler (n° 66), on peut écrire
XXXII
1(3) %{^)^i^''^iq"'co,9.nn.,,
OU encore d'une façon plus explicite
Si(y)= ag-^simic — ^g^sin Stiv -1- ig ' siuStii' — . . ,, &5(l>)= 7.q^ cosTTP -t-nq^ cosSuw -1- aç"^ cosSiriî -H. , . ,
&3(l')=l-l-29'COS2iri.-l-2çlcOSiiri.4-2ï3cOs6TIl'+,..,
Si(c) = i — 2? cos2iri'4-2y*cos4T:P — 2 5rScos6Tii'-h.... Quand on voudra mettre en évidence, soit le rapport ■: 1^ —, à l'aide duquel les quaire fonctions S sont formées, soil le nombre q = e™', on écrira
3i(oh), %i^\^), 3-.(i'|T), S^(.|t),
yGoosle
&i(.,g), %iv,q), %{ç,q), %{^,q),
à la place de
Avec ces nolalîons, les résultais dn n*' 1S9 peuvent être mis sovm la forme suivante
1(1) |^5Sî'>" = e"""'''=&i(<'), (XXXIII) ' (ï) 2îoîîï'"tf,i( = e^i'"''"'&î(i'),
162. Les formules (XXXIII,.,) peuvent s'écrire sous diverses formes, avec lesquelles il convient de se (amiliariser.
La première montre que 2f( (c) s'annule pouf u =^ o. En prenant les dérivées des deux membres par rapport à u, en supposant w 1= o et en se rappelant que l'on a rf'o = i, on trouve
Divisons l'égalité (i), membre à membre, par celle que nous venons d'obtenir; divisons de même chacune des égalités (a), ('i). (4), membre à membre, par celle qu'on en déduit en y faisant K = o ; 011 trouvera
En prenant les dérivées logariUimiqiies par rapport i deux membres des relations précédentes, il vient aussi
± ail")
l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et l'on pciu mettre ces dernières relations, en tenant compte de celles qui précèdent, sons la forme
Si l'on se reporte aux formules. (XXXIj.i) qui donnent les
expressions de V^a — e-j, . . . , au moyen àe rj^, q^, , . ., on voit qu'on peut encore écrire
(9) sJ'—VT^ ^„ =ie^i.<^.-'S,(r),
