OK

Ce premier membre d'ailleurs ne peut être nul que dans l'u ou l'autre de ces cas.

On eonclut de là que toutes les soUilions de l'équation

nt données par les formules On trouve de même que toutes les solutions de l'équation

LES QUOTIENTS [lES FONCTIONS tf ET DES FONCTIONS &. iSj

sont données par les formules

et que toutes les solutions de l'équation

sont données par la formule

aT = ±a-t-2mK-v4m'(K'.

En particulier, les solutions des équations

sont égales deux à deux.

3i\. Supposons {i>i et -^ réels et positifs. Si l'on se reporte aux formules qui définissent A^et A:', en se rappelant (n" 121) que \/e^ — 63 est un nombre négatif tandis qtie \/e, — «21 \/ei — Cj sont des nombres positifs, on voit que k et k' sont positifs, plus petits que i; K et K' exprimés au moyen de k^, k'- par les formules

Ai -«")(■ -

sont réels et positifs,

S! H est une variable réelle, les formules qui donnent sn«. en M, dnu, sous forme de quotients de â montrent que ces fonctions sont réelles. Si « reste compris entre o et K, aucune des dérivées ne peut cbanger de signe : les fonctions varient donc toujours dans le même sens; sn « croît de o à i, cnit décroît de I à o, dnH de 1 à k'. Il convient de remarquer que la fonction dnM, qui ne s'annule et ne devient infinie pour aucune valeur réelle de u, reste positive pour toutes les valeurs réelles de u. De même, quand k croît de K à 2K, les dérivées ne peiivent encore

l88 CALCUL DIFFÉRENTIET..

changer de signe; sn n décroît de i à o, en « décroît de o à — i , dnH croît du k' ii i.

Ensuite les formules relatives à l'addition de sK montrent comment les choses se passent dans l'intervalle (aK, 4'^}-

312. Lorsque u = iu' est purement imaginaire, ^ sn{iK') est une fonction réelle de ii' ainsi que cn(iu') et dn.(iV), Les dérivées par rapport à u' de ces fonctions sont respectivement

elles ne changent pas de signe quand u' croit de o à R'; dans cet

intervalle -sn(i«'), cn(îV) et dn(tV) ne peuvent prendre que

des valeurs positives puisque ces fonctions sont positives pour

II' ^ o et ne peuvent changer de signe ; on volt donc que t su ( iu')

ot'oît de o ù -1-00, et que cn(iV) et dn(iH') croissent de i à H~co.

D'ailleurs, quand u' tend vers K', le quotient ■ ■ - ' tend vers k,

, 1 — A^sn^fiu') , ,„ drL(iV)

puisque son carré — — — -- ; - , -- tend vers k^ et que - — p-K reste

réel et positif.

Lorsque u' croit de K' à aK', — -^ — -, cd((m'), da((«') croissent de — oo à o, — r et — i respectivement.