Enfin la formule
sn(« + 60-sn(a-iO =
où o et 6 sont supposes réels et où le dénominateur du second membre est par conséquent réel, montre que sn(a -f- bi) ne peut être réel que si 6 est un multiple de K.' ou si a est un multiple impair de K.. Si b est un multiple pair de K.', en effet, le facteur sn(6i) est nul; si 6 est \\n multiple impair de K', sn''{bi) qui figure au dénominateur est infini et le second membre est encore nul; si enfin a est un multiple impair de K, cncï est nul.
D'ailleurs, dans ces différents cas, sn (a -|- hi) est réel. En particulier, on voit que sn u est réel quand le point u va en ligne droite de o à K, de Kà K -i- (K', de K--+- îK' à iYJ. Le point u décrit alors trois côtés d'un rectangle; pour le premier côté sn« croît
LES QUOTIIÎNTS MS FONCIIOniS tf ET DUS FONCTIONS 3. jSy
de o à 1 ; pour le second de i à ^rJ pour le Iroisième de ^ à -h oo. Ëniin, si snu est réel et positif, les formules du n° 310 donnenL toutes les valeurs de u, en y supposant que a soit représenté par l'un des points de la ligne brisée précédente.
De même pour les valeurs réelles et négatives de tsnK et le quatrième côté du précédeni rectangle.
Les autres fonctions cn«, dn« donneraient lieu à des observations analogTies qnc le lecteur n'aura aucune peine à faire de lui-même.
Sl'i- Les fonctions 3 et leurs quotients ont été envisagés par plusieurs géomètres; elles se présentent souvent sous d'autres formes qu'il nous reste encore à faire connaître.
Comme l'a fait' observer Kroneeker dans ses Cours et dans plusieurs de ses Mémoires, la fonction doublement périodique
s'introduit d'eile-mërae dans quelques questions importantes d'Arithmétique et d'Algèbre.
Kroneeker désigne psv /onction elliptique: El, la fonction de deux variables v et t,
En tenan t compte des formules(XXXlIIji^)i),(XLa),(XSX VIL). on voit que cette fonction est Vièe aux fonctions doublement périodiques précédeuimcni définies, par les relations
(LXXVî) El U ^) = 4 V^;^:^, V^i-^z io3(2«| t),
Pour les valeurs particulières o, -> — -,— . -7 de l'argument c, on
CALCUL DIFFÉIIENTIEL.
Les deux relations
OÙ m, n sont deux entiers (juelconqiies, se déduisent sans peine des formules {XXXIV). En supposant m pair et en remplaçant c, m, T par ■f.v, 2m, ■ït, on obtient les relations
dont la première met bien en évidence la double périodicité de la fonction EL
En remplaçant sn(j(, k) par sa valeur
1 peut mettre la relation
en u dn M = -^^ = /(i — sn'u) (i — fta sn^u)
sous la forme
LES yuOTlUPiTS DES FONCTIONS rf ET DES
OÙ l'on a posé (' ) avec Jacolii
(LXXV,) P = '^+i =
la formule d'addition de la fonction elliptique El(c,-1
déduit facilement : si x, y, z désignent les trois fonctions
on a
(LXXVs) 3 = -^ - — ^^ -^ r-^ —^
315. En terminant ce paragraphe, indiquons, relativement aux fonctions Sr, d'autres notations qui ont nn grand intérêt historique, qui sont souvent commodes, et dont nous aurons à faire usage.
En conservant aux quantités K et K' la signification donnée par les formules (LXXIa i), posons
(,) H(«)=a,(jJ),
(„ ew =3.(â).
Les fonctions snx, cna:, dna; s'expriment très simplement au mojen des fonctions H(j:), H, (x), &{x), 0, (x) du même argument X. On a
î (5, ,„^-L ïïiîl,
(Lxxv,, (c, ».= f 1^.
Les fonctions H(^), Q{x), H|(a;), 0,(x) jouissent des pro- (') Œuvres, 1. 1, p. aee.
(LXXVIJ,)
192 CALCUL IlIFFfinKMTIEL.
priétés suivantes, qu'on dcdiiit immtidiatemcnL (les (XXXIV)
/ U(^^^mK) ^(-i)"'H(2.},
j H,(2: + a/«K)=(-i)"'H,(*), ( e,(3;-i-2niK) = 0,(a^l;
I Ui^^^miK') =(-,)'"AH(:k), \e(x-i-2miK') =(— i)"'A0(37), ■ Hi(^-l-2nîiK') = AHi(a^), I Oi ix + imiW ) ^ ABi(x).
H,(3: + iK')= Be(^), ' " 1 9, (ar-!-tK,')= BH,(3-),
m étanl, un entier quelconque.
316. En se reportant ans formules (XXX1II,b), o diaiement, en remplaçant la lettre u par la lettre x,
