LUS QUOTIKSTS DUS FONCTIONS 5' !1T DES FONCTIONS S. 30I

lats se déduisent, par de simples divisions, de ceux qui oni été établis dans ces mènnes numéros. Comme alors, nous traiterons d'abord du cas où n = 2, puis de celui où n est impair.

Dans ie premier cas, pour ce qui esl des fonctions ^, nous nous dispenserons d'écrire les formules qui résidteni immédialement des Tableaux (XXII) à (XXV); nous nous contenterons de considérer les transforma lions des fonctions sn, en, dn et nous nous servirons pour cela des formules relatives aux fonctions S qui sont un peu plus avantageuses.

32S. Rappelons d'abord, parmi les formules (XLIX), les suivantes

et observons, en passant, que les deux dernières se déduiraient des deux premières en changeant t en — ;■ On en déduit très aisément

si, dans les derniers membres, on regarde ^2 comme un nombre positif, ces formules définissent les radicaux \/i 4- /f*, V^i — ^''i \/i + k, \/i — k comme des fonctions univoques de x ; en d'autres lermes, ces formules ^a;e/t( le signe de ces radicaux qui apparaissent dans diverses questions de la théorie des fonctions elliptiques, et que nous prendrons désormais avec cette signification précise. 11 est bien clair que, si - esl réel et positif, les radicaux

202 CALCUL IUFFfRENTIEL,

doivent élre pris avec leur sens arithraéùque, puisque les derniers membres sonl alors manifeslement positifs.

Il convient d'observer que l'on a, en adoptant ccUe détermination des radicaux,

j/T^T/c' /7TT' = /. , s/\'~l v/ m = /,■' ;

la première de ces relations, en effet, si l'on se reporte aux définitions, équivaut à l'égalité

qui résulte très facilement des formules (XLlX-f,). On a aussi

v/2 i/TTJ /r+T = 1 + /c -H k',

puisque les carrés des deux membres sont manifestement égaux cl que cbacun des deux membres définit une fonction analytique de T ayant une valeur réelle et positive dans le cas particrrlier où "t est réel et positif.

Les formules qui définissent y'i + /f', ;/i — k', . . . donnent, inversement,

\/i-h/.-' \fi-\-k'

326. Plaçons-nous dans le cas où aux demi-périodes w,, U3 on substitue les demi-périodes —1 W3; -r est alors remplacé par st et si l'on désigne par \/l et \/J' les quantités !p'(2T), ■['^(at) qui remplacent ^^ ~ ç^(-r) et \/Â'= '} = (■:), on aura, d'après ce qu'on vient de dire,

(LXXXI) I "

où les signes des radicaux, fixés comme on l'a expliqué, sont assurément tels que les valeurs de \/I, \fl coïncident respective-

LES QUOTIENTS DES FONCTloriiS rf lîT 1

lïienl avec celles de

îî27. Si l'on désigne maintenant par e, , e^, \/-e, — Ea, les quantités qui remplacent e, , e-j, \/e, — es et par L, L' les quantités qui remplacent K, R', savoir :

L = ^i/e.-ï.- jSi

(LXXXI) i

el, si l'on pose

(LXXXIi)

K 2M SK«I>)'

el, par suite, en appliquant la formule (XLVIIi),

aî(ola,)= j[3î(oi,) + 3j(oh)l = li^aS(ol,),

(LXXXI

(«) L' = (.+A'')K-=ïj.