PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS
m (ilaiit un entier positif. L'éqviaûoii
Lidinet »i- -h I solutions distinctes oii x, y sont des nombres eiiliers, positifs ou nuls : en tenant compte de ce que les systèmes (a, p), (—M, p) ne sont distincts que si a est différent de zéro, on en déduit que l'équation (i) admet 4'« solutions distinctes. Ceci posé, la suite' linéaire des quantités (a, fj) sera formée en plaçant d'abord les quatre systèmes pour lesquels |a|-|-[p| est égal à un, puis les buit systèmes pour lesquels la même quantité est égale à deux, ... ; de celte façon, le tableau à double entrée est remplacé ])ar une série linéaire à termes positifs ; cette dernière série sera convergente ou divergente en même temps que la séi-ie dont on obtient le m'°"'^ terme c,„ en réunissant dans on même groupe les 4 m termes de la série primitive pour lesquels | a | -i- | p ] est égal à m. Nous allons évaluer des limites supérieures et inférieures de <;„,.
On a
désignons par g le plus petit des nombres positifs
cl par h le plus grand des nombres 7*, | [a |, v ; ou aura, en supposant
et en remarquant que l'un des nombres k, [3 est en valeur absolue au moins égal à — .
est convergente quand on a r >■ i , divergenle quand on a /■ ^ i •, la série don i le terme général est c„ sera donc convergente quand on aura ip — i >■ i , ou ja >■ i , divergente quand on aura /> ^ i . 11 en sera de même de la série à double entrée.
On arriverait à la même conclusion en utilisant la représentation géométrique décrite au n" 12 et le mode de correspondance obtenu en tournant successivement autour des cases ; on réunirait alors les ternies qui se siiivent dans un même tour.
Ceci posé, désignons par a, a', b, b' des nombres réels quelconques, tels cependant que ab' — a' b soit différent de zéro, de sorte que, si l'on pose
A et B soient deux nombres quelconques soumis à cette seule restriction que leur rapport ne soit pas réel, et envisageons !a série à double entrée dont le terme général est
Il étant un entier positif fixe ; a et p peuvent prendre toutes les valeurs entières positives, négatives ou nulles à l'exclusion de la combinaison a ^ o, fl =i o.
La valeur absolue de la quantité précédente sera
OÙ l'on a posé, pour abréger,
>, = a'^+«'s, \i- = ah + a'b', -i = b^-hb'^;
mais alors la forme
X ^5 + 9.\i. ay -f- 'jy'^
SÉRIES ET rBODtn'S IKFISIS A lERHliS CONSTANTS. 27
est positive, car la quantité
),v — ;j.3 =(n5'rt'6)3
est positive, puisque ab' — a'b esl supposé différent de zéro; nous sommes donc, pour la série des valeurs absolues des termes de la série à double entrée considérée, dans le cas précédent ; la série des valeurs absolues est convergente si l'on a
divergente dans le cas contraire.
Ainsi, sous les hypothèses précédentes, la série à double entrée dont le terme général est
(KA + pB)"
est absolument convergente quand \ entier n est égal ou supérieur à trois; elle n'est pas absolument convergente pour les valeurs de n égales à lux ou à deux.
19. On pourrait encore considérer des séries à entrée/)"''''^ dont les termes
dépendraient de p indices a, p, . . . , l- On montrerait qu'il est possible d'établir enlre les systèmes de p nombres entiers
et la suite des entiers positifs i, a, ...,»,. .. une correspondance univoque et réciproque, fondée par exemple sur le fait que l'équation
hi+iPi+...+iM = '»,
où m est un entier positif, n'a qu'un nombre limité de solutions ; le reste de la théorie de ces séries s'établirait comme pour les séries à double entrée. Le lecteur pourra, par exemple, s'exercer à généraliser la première partie du théorème établi dans te paragraphe précédent, en considérant à la place d'une forme quadratique positive à deux variables une forme quadratique positive à p variables.
