II. — Séries à double entrée

H. Nous avons considéré jusqu'ici des suites

de nombres qui dépendent uniquement d'un indice, chaque indice indiquant le rang que le nombre qui en dépend occupe dans la suite : nous allons maintenant considérer des ensembles infinis de nombres dont chacun dépend de deux indices; un quelconque de ces nombres sera représenté, par exemple, par le symbole «h, 3, t^, P étant des nombres entiers. Donner un pareil ensemble, c'est donner la loi qui détermine un terme quelconque lorsque l'on connaît ses deux indices et leur ordre. On peut d'ailleurs supposer, sur les indices a, p, qu'ils peuvent prendre indépendamment toutes les valeurs entières et positives, ou toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives; on peut aussi supposer que l'un d eux ne prend qu'un nombre fini de valeurs, ou encore convenir d'exclure telles combinaisons d'indices que l'on voudra, d'après une loi arbitraire.

Si l'on imagine un plan indéfini décomposé en carrés par des parallèles à deux axes rectangulaires, distantes de l'unité de longueur, de telle façon, par exemple, que le centre de l'un des carrés soit à l'origine et que les coordonnées de tous les autres centres soient deux quelconques des nombres o, ± i , ± 2, ± 3, ... ; on peut inscrire chaque nombre aa,^ dans celui des carrés dont le centre a pour abscisse a et pour ordonnée ^; on aura ainsi constitué un tableau à double entrée; des cases en nombre fini ou infini peuvent d'ailleurs rester vides.

12. Il convient tout d'abord de remarqiter qu'un tableau à double entrée ne constitue pas quelque chose d'essentiellement distinct d'une suite indéfinie de nombres rangés linéairement, ou dont chacun ne dépend que d'un indice (' ). En d'autres termes, étant donné un tableau à double entrée de nombres Oa,^, on peut en ranger les éléments dans une suite linéaire b,, b^, ■ ■ ■ , b,,, . . -

de telle façon qu'on puisse trouver pour cliaqiic élément a^,^ du tableau le terme &„ qui lui est égal et réciproquement.

Considérons, en effet, les divers systèmes {') non exclus de deux nombres entiers (a, p); nous allons montrer qu'on peut établir entre ces systèmes et les nombres entiers positifs i , 2, , . . , n, ... une correspondance telle que, à chaque système, corresponde un entier positif et un seul et que, à chaque nombre entier positif, corresponde un système non esclu et un seul; une correspondance satisfaisant à ces conditions est dite univoque et réciproque. Cette correspondance établie, il siiffira de convenir que l'on a

toutes les fois que le système (a, p) et l'entier positif n se correspondent, pour avoir transformé le tableau à double entrée en une suite linéaire, ou la suite linéaire en un tableau à double entrée.

Quant à la possibilité d'établir une telle correspondance, on la mettra en évidence, si l'on veut, comme il suit.

Essayant de ranger sur une même ligne tous les systèmes différents non exclus, on conviendra, par exemple, de placer sur cette ligne le système (a, p) avant le système («', P') si la somme des valeurs absolues des nombres a, p est inférieure à la somme des valeurs absolues des nombres a', fl'; il ne restera plus alors qu'à indiquer comment on range sur cette ligne ceux des systèmes non exclus pour lesquels la somme des valeurs absolues des nombres qui les composent est égale à un nombre entier positif donné N. Or ces systèmes sont en nombre évidemment fini, et l'on pourra adopter pour les ranger telle loi que l'on voudra; en supposant, par exemple, que l'on ait

on pourra convenir de placer le système (a, fi) avant le système (a', p') si la première des différences a' — a, fJ — ^ qui n'est pas nulle est positive. Dès lors tous les systèmes possibles sont rangés

(') Nous entendons par système de deux nomtirea l'ensemble de ces deux nombres, ensemble dans lequel il faut tenir compte de l'ordre de ces nombres. Deux systèmes de deux nombres sont identiques si les éléments de ces systèmes sont les mêmes et sont rangés dans le même ordre.

|6 IKTRODUGTION.

d'une façon déterminée; d'abord vienl le système (o, o) s'il n'est pas exclu, puis les systèmes { — i, o), (o, ~ i), (o, i), (i, o), puis ceux pour lesquels la somme des valeiirs absolues des éléments est égale à deux, puis les systèmes pour lesquels cette somme est égale à trois, etc.; il suffit maintenant de faire con-espondre chaque système à son rang dans la suite linéaire ainsi formée pour réaliser la correspondance univoqiie et réciproque dont il a été parlé plus haut.

On voit tout ce qu'il y a d'arbitraire dans la façon dont on a établi cette correspondance et il est manifeste qu'elle aurait pu être établie d'une infinité d'autres façons. En particulier, la représentation géométrique qui a été décrite précédemment fournit aisément des moyens de réaliser celte correspondance ou, ce qui revient au même, de désigner sans ambiguïté chaque case du tableau par un seul entier positifau lieu de la désigner par les deux entiers a, {i qui sont les coordonnées de son centre ; on donnera, par exemple, le n" 1 à la case {o, o) qui contient l'origine; puis, tournant une première fois autour de cette case à partir du carré qui a son centre sur la partie positive de l'axe des x, on affectera des n"= a, 3, 4, 5, G, 7, 8, 9 les huit cases {i, o), (i, i), (o, i), {— j, i), (— i, o), ( — i, — i), (o,— i),{t, — i); puis, tournant une seconde fois autour des cases précédenles, on donnera les n"' lo, 1 1, .. ., aS aux seize cases (2, o), (a, i), . . ,, (a, — i). On continuera de la même façon; au 7''™* tour on afFectera des n"*

les 8r cases que l'on rencontre.

Dans tous les ensembles de nombres «a, p que nous considérons, nous supposerons toujours, pour simplifier le langage, que les indices a, p puissent prendre toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives, sans exclusion. On devra alors poser «a,g^ o quand le système particulier (a, ^) est exclu, on bien, si l'on préfère ne pas introduire ces termes nuls, on supprimera, dans les sommations dont il va être question, les termes €ta,^ qui correspondent aux systèmes d'indices (a, ^) exclus.

13. Soit donc un ensemble de nombres «o^g. Supposons qu'on ait adopté entre les divers systèmes (a, ^) formés avec deux nombres

SÉRIES ET TRODUIIS ISFIBIS A TERMES CONSTANTS. I7

eatiers positifs, unis ou négalifs et les nombres entiers positifs 1, 2, . . ., n, ... «ne correspondance univoque et réciproque telle que l'une de celles qui ont clé décrites pins liaut, puis que l'on fasse

toutes les fois que le système {y., P) et le nombre n se corre^ijondeni; alors la suite linéaire

contiendra une fois cliacun des nombres aa,^ et ne contiendra pas d'autres nombres.

Inversement, étant donnée une pareille suite linéaire, on peut en disposer les éléments dans un tableau à double entrée.

Supposons d'abord que tous les nombres «„p et, par suite, tous les nombres bg soient positifs ou nuls.

On dira que ces nombres «a^p sont les termes d'une série convergente à double entrée, si la somme d'autant de termes qne l'on veut pris parmi ces nombres, chacun n'étant pris qu'iine fois, reste toujours inférieure à un nombre fixe A; dès lors il est clair que la série à termes positifs ou nuls

est convergente et que sa somme S est au plus égale à A.

Réciproquement, si cette dernière série est convergente et a pour somme S, la série à double entrée est aussi convergente, d'après la définition précédente, puisque la somme d'autant de termes que l'on veut pris dans le tableau à double entrée est inférieure à S. On peut d'ailleurs prendre, dans la suite b,, bi, ..., b,i, .-., ou dans le tableau, assez de termes pour que leur somme dépasse tel nombre que l'on voudra, inférieur à S. Il en résulte que la somme S est indépendante du mode spécial de correspondance que l'on a adopté entre les systèmes (a, p) et les entiers positifs n. C'est le même raisonnement que l'on emploie pour prouver que, dans une série convergente à termes positifs ou nuls, on peut intervertir l'ordre des termes; c'est, au fond, le même théorème.

Noiis dirons parfois que S est la somme de la série à double entrée.

8 INTHODUCTIOK.

14. Ceci posé, on va prouver les propositions suivanlcs : i" Les séries à termes positifs ou nuls

lit convergentes.

Nous rappelons, une fois pour toutes, ce qui a clé dit au n" 1, qu'un pareil symbole désigne le nombre obtenu en ajoutant les i des deux séries

a" Soil

la série à termes positifs ou nuls

est convergente et sa somme est égale à S.

Les séries (i) sont convergentes, comme toutes celles dont les termes figurent, cbacun une fois au plus, dans la suite fii , fci, . . . , fo,j, , . . , et leurs sommes sont, au plus, égales à S. L'emploi des

symboles 2«a,p) ^a ^st donc légitime : il est commode de dire

que Sa représente la somme de tous les termes du tableau à double entrée qui figurent dans une même ligne horizon laie.

Soient p et q deux entiers positifs. Désignons par le symbole Sa,q la

il est clair que les nombres Sa,q, tous inférieurs à S, vont c mentant quand a. reste fixe et que le nombre positif^ va e

SÉniES ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. ig

menlanl.; quand ce nombre augmente indéfiniment, s^^^ a pour limite s^.

Désignons par le symbole dp^^ la somme

dp^ î peut aussi être regardé comme la somme de tous les nombres (ïa,ai dans lesquels le premier indice est, en valeur absolue, inférieur ou égal à p et dont le second indice est, en valeur absolue, inférieur ou égal à g. Ce nombre, positif ou nul, dp^g, est donc aussi au plus égal à S, quels que soient p et q. D'ailleurs, dp^ q ne peut qu'aller en augmentant quand l'un des indices augmente; lorsque, jD restant fixe, q augmente indéfiniment, dp^q tend donc vers une limite au plus égale à S. Cette limite n'est autre cliosc que la somme

par conséquent, la somme d'autant do termes que l'on voudra, pris, chacun une fois, parmi les nombres Sa, est au plus égale à S. Il en résulte que la série

est convergente, et que sa somme est au plus égale à S. Il est aisé de voir qu'elle est précisément égale à S, car elle dépasse tout nombre B inférieur à S. On peut prendre, en effet, dans le tableau, assez de termes pour que leur somme dépasse B, ce qui revient à dire qu'on peut prendre p ei q assez grands pour que dp^q dépasse B; mais la limite, pour/» infini, de dp, ne peut pas être inférieure kdp^q-, cette limite est donc supérieure à B. On a donc, en résumé,

1 lieu de faire la somme s^ des termes conte

20 1NTHODD€T10N.

de toutes ces sommes parûellcs, on aurait pu aussi bien faire la somme de tous les termes contenus dans chaque iigne verticale, puis la somme de toutes les sommes partielles ainsi obtenues. En d'autres termes, on a aussi

On écrit souvent, d'une l'açon plus abrégée,

cil n'iiidifpiant pas l'ordre dans lequel s'efTectncnt les sommations.

Réciproquement, si, étant donné le tableau de termes posilll's

ou nuls (la, 9i les séries •V="Zj«a,p sont convergentes, ainsi que la série ^Sa> et que l'on désigne encore par S la somme de cctLc

dernière série, on voit de suite que !a série à double entrée est convergente, parce que la somme d'autant de termes que l'on veut, pris dans le tableau, ne peut dépasser S; alors la série

est forcément convergente. Sa somme est donc égale à S, d'apr le ihéorème qui vient d'être démontré.

13. Plaçons-nous maintenant dans le cas général où les non bres aa,a sont quelconques, réels ou imaginaires.

On dira que la série à double entrée, dont les termes sont a^,^ est absolument convergente, si la série à termes posiiifs o i nul dont les termes sont |ffla,p[; est convergente.

SÉRIES El PJlOmiTS ISKINSS A. TUllHES HONSTAKIS. 2 1

Supposons qu'il en soit ainsi; la série

bt-i-bi-h...+ 6„-T-...,

dont les termes sont toujours les nombres «a,p rangés dans une suite linéaire, est alors absolument convergente. Désignons-en encore la somme par S, et soit S' la somme de la série à ternies positifs ou Euls

On a alors les tliéorèmcs suivants :

i" Les séries

Gela résulte immédialeraenl de ce f|iic l'on a démontré, dans luméro précédent, que les séries

Ii«

sont convergentes.

■>.•> S ou

'= = 21 ""'fi'

est absolument convergente, et sa somme est égale à S,

Si l'on pose, en effet, p et c/ désignant toujours des nombre entiers positifs quelconques,

il est clair que l'on aura, poiir cha(|iic entier positif/) et chaque entier positif ç,

d'ailleurs Sa est la limite, pour q infini, de %^ç. Si donc on désigne par s'^ la limite, pour q infini, de 5^,.,, on aura nécessaire-

Mais, d'après le paragraphe précédent, !a série à termes positifs est eonvergenl.e; donc la série

est absolument convergenln. 11 reste à prouver que sa somme est égaie à S.

Or sij après avoir choisi les entiers positifs p et ç, on choisit l'entier positif m, supérieur à tous les entiers positifs qui correspondent à ceux des systèmes (a, ^) pour lesquels on a

il est clair que la difTcrencc

ne sera autre chose que la somme d'un certain nombre de termes du tableau <Ta,f;; on aura donc

lèi + *, + ...+ 6„,-='p,,|<|ii| + |i,l + ...+ |/.„,| -4,,,

le second membre étant, de Ini-même, positif ou nul. Faisons croître m indéfiniment; celte inégalité ayant toujours lieu, on en déduira

si l'on fait ensuite croître q indéfiniment, 'ip^q et d„„ tendront

SÉRIES ET PHODlilIS INPrNlS A TERMES CONSTANTS. a3

respeciivcmcnt vers leurs limites

et l'on aura donc

Mais, lorsr[uc p augmente indéfiniment, ^J, a pour limite S'; il faut (lune que rf^ ait pmir limite S. En d'autres termes, on a

Il est à peine utile de faire observer que l'on pourrait effectuer les sommations partielles par lignes verticales, au lieu de les effectuer par lignes horizontales, et encore d'une infinité d'autres manières, en raison de ce que la correspondance entre les systèmes (a, P) et les entiers positifs i, a, ...,/!, ... est arbitraire, ou encore, en raison de ce qne les termes de la série

peuvent être rangés arbitrairement. Au fond, on est parvenu à une généralisation complète du théorème sur la possibilité de grouper arbitrairement les termes d'une série absolument convergente, la restriction que le nombre de termes contenus dans chaque groupe est fini étant supprimée : il peut y avoir un, plusieurs, une infinité de groupes qui soient eux-mêmes des séries.

16. 11 peut être utile de faire observer que si, étant donné le tableau à double entrée ««, p, on savait que !es séries

sont absolument convergentes, ainsi que la série

on ne devrait pas en conclure que la série à double enirée dont les éléments sont ] «a,? 1 est convergente.

17. Comme application du lliéorème général qui vient d'ôtre démontré, signalors ce fait que, si deux séries

sont absolument convergentes, il en est de même de la série à double entrée dont le terme général est «a^pi If^s indices c, ^ ne pouvant prendre ici que des valeurs positives. En rangeant ensuite les termes de cette série à double entrée en une série linéaire, de façon que les termes, dans lesquels la somme des indices est la même, se suivent, on retrouve la règle ordinaire de la multiplication des séries.

18. Voici une autre application très Importante dans la lliéorlc dos fonctions elliptiques.

une forme du second degré dont les coefficients X, o., v soient réels ; supposons, de plus, que cette forme soit posi'lwe, c'està-dire que l'on ait

en sorte que, quelles que soient les valeurs réelles que l'on mette dans la forme à la place de x, y, on trouve un résultat positif, sauf dans le cas où l'on ferait x = u, y=^o.

Nous supposerons qu'on remplace ^, jk par les divers systèmes de deux nombres entiers positifs, négatifs ou nuls (a, p), en excluant toutefois la combinaison a^o, ^ = o, et nous considérerons la série à double entrée dont le terme général est

(î>a=-v-a]iap-i-vfis)f''

clicrclions pour quelles valeurs du nombre positif /> cette série est convergente.

Pour faire correspondre les systèmes de nombres entiers (a, f,) aux nombres i , 2, . , . , h, . . , , nous adopterons l'un des procédés expliqués au n" 12, et qui consiste essentiellement à ranger, sur une même ligne borizontale, les systèmes (x, ^) pour lesquels