III. — Produits inûiiis à double antrée

50. On peut considérer des produits infinis à douLlc cnlrèv. comme des séries à double entrée.

Reprenons les notations antérieures et supposons les termes "ï,pî où a, p peuvent prendre toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives, rangés suivant une suite linéaire h^, h«, ..., b,„ ....

Le produit infini à double entrée

sera dit absolument convergent si la série è double entrée dont le terme général est «„, p est absohiment convergeule ; la valeur de ce produit infini est, par défim'tion, celle du produit absolument convergent

?jous allons prouver epie celle valeur peut être oblenuc pnr des règles analogues à celles qui concernent les séries à double entrer.

21. Supposons d'abord que toutes les quantités a^,^ soient positives ou nulles.

Le produit d'autant de facteurs que l'on veut, pris parmi les quantités i + ««, p est au plus égal à l'. On peut prendre assez de facteurs pour que leur produit dépasse tel nomlire que l'on veut inférieur à P.

Soient/», q deux entiers positifs ; posons

'->v',ï- II(i'i-i„.„)= (1+ /^,,)([+ ;^+,,^)..,(.+. V./)

yGoosle

sÉRins Eï PlinnriTs infinis a iehmes constants. 59

I + Xp,^ peut aussi être considcié comme \<: produil de Ions lt;s fadeurs 1 -|- a.a,^ pour lesquels on a

/„,,,, À,,j sonl. positifs OU nuls cl l'on a

Quand y augmente indéfinimciH, i + 'a,,, qui augmente avec 7,

où le second membre représente, comme il a été expliqué (n" 10), le produit des valeurs des deux produits infinis dont les facteurs s'obtiennent en faisant varier, dans «a, pi ^ de o à -H ^ et de — 1

D'ailleurs, si dans Tinégalité

on fait croître q indéfiniment, on voit, en se reportant à la définition de 1 +Xp^,, que les a/) + i facteurs qui le composent tendent respectivement vers

i '^l-i,, 1 + L,,-vi. ..., i-r/o, l + ?l, 1 + h, .... n-/,„

Comme les nombres la sont jiositils ou nuls, on eh conclut que le produit infini

nc-w

est convergent et a une valeur égale ou inférieure à P. Mais cette valeur ne peut être que supérieure à i + Âp^^; or, si l'on se donne un nombre positif B<; P quclcontjue, on peut, d'une part,

3o ISIROLUCnON,

jii'enrlfc n assez grand pour que le produit

dépasse B cL, d'autre part, prendre/), q assex grands pour que tous les fadeurs qui précèdent entrent dans la composition de I + \n,î qui sera dès lors supérieur à B. Donc, la valeur du produit infini, étant supérieure à B, est nécessairement égale à P.

Remarquons en passant que la convergence de la série à termes positifs ou nuls

résiiUc de la précédente analyse,

2â. Supposons maintenant que les quantités Ua,^ étant quelcoQqnes, réelles ou imaginaires, la série à double entrée dont le terme général est [«h, p| soit convergente. Conservons les mêmes significations aux quantités /o,,^, Xj,,, et posons

fi ---+7

Le produit infini

esl absolument convergent à cause de la convergence de la série à termes positifs

La valeur de ce produit infini est la limite i -!- /h de i + /a, 7 pour ij infini, et l'on peut poser encore

'.-ri'— ■-«■

SÉRIES F,T PROrUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 3;

Si l'on fait de même

011 aura ôviJcmment

Mais, d'après le numéro prccédciit, la série

est convergente; il en est donc de même de la série

et, par suite, le produit infini

est absolument convergent. Nous allons prouver que sa valeur est égaUP.

Choisissons, à cet effet, un entier n assez grand pour que tous les facteurs i -l-<ïa,p tels que l'on ait

figurent parmi les facteurs

! + />,, n-éï, ..., i + b,r,

désignons par P„ le produit de ces facteurs et par P^ le produit des fadeurs

D'après un raisonnement déjà employé (n" If»), nous aurons alors

d'où, en faisant croître n indéfiniment et en désignant par I" lu limite de P^ pour n infini,

ip-(i+v./)[ii"-o-->^;,,,).

yGoosle

32 INTROBrCTlON.

puis, en faisant croUre q indérmimenl,

lorsque p augmente indéfinimenl, L)re est zéro; on a donc finalement

Pour la même raison

on sorte qu'on peut grouper, soit d'abord par lignes lioriïoulalcs et réunir en un même produit infini les produits partiels ainsi obtenus, soil d'abord par lignes verticales et réunir en un même produit infini les produits partiels ainsi obtenus, On pourrait encore effectuer ces groupements partiels d'une infinité d'autres manières.

SÉLIIES DONÏ LES lEliMRS BÉPliNDlîNT b'UNE VARIABLE.