I. — Définitions et premières propositions

23. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des séries ou des produits infinis dont les termes ou les facteurs dépendent uniquement de leur rang ; nous allons considérer maintenant des séries ou des produits infinis dans lesquels ces termes ou ces facteurs dépendent d'une variable x réelle ou imaginaire.

Considérons tout d'abord une telle série

et supposons qu'elle soit convergente pour chaque valeur de x appartenant à un certain ensemble défini comme on le voudra. Alors la somme de cette série définit une fonction (') dont la valeur est déterminée pour chaque valeur de x appartenant à cet ensemble.

Désignons par S^ la somme des n premiers termes et par R„ le reste de la série limitée au terme u„, c'est-à-dire la somme de la série convergente

la série proposée est dite uniformément convergente pour les

(') Nous entendiof s le mol /onction sans épithète, dans ce sens : la variable j est fonction de la vmable indépendante x, si la valeur de j est déterminée quand on se donte h laLur de m. Cette signification du mot fonction est très différente de celle qu il | lend dans l'expression fonction analytique.

T.elM. — I. 3

ISTHODUCIION.

valeurs de x appartenant à l'ensemble considéré (' ), si, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier positif /■ tel que, sous la seule condilion

" > '■, l'on ail

|S-SJ = |R„[<E,

quelle que soit la valeur de x appartenant à l'ensemble considéré. De même, si, pour toutes les valeurs de x appartenant à un ensemble, le produit

est absolument convergent, on dira qu'il est en oiilre wiiformémenl convergent pour toutes ces valeurs de x, si, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier r tel que, sous la seule condition

l'on ait, pour toutes les valeurs do x appartcnanl à l'ensemble considéré

en désignant par P la valeur du produit infini et par P,, le produit de ses n premiers facteurs.

D'après cette définition, on voit que le précédent produit, supposé absolument convergent, est uniformément convergent si la série équivalente à ce produit

est uniformément convergente.