i. S'il existe une auite de nombres positifs ou nuls

g,, g--, ■■■, g,i, ■-■ tels que la série

g\-^gi + ...-+ g,i+ ..

soit convergente, et que l'on ait, quel que soit n, et quelle que (') Plus bi'iùvemcnt, uûiformOmcnl convCTgente dans rtnscmtilc considcrÉ.

SfMlKS DONT T,HS Tl^RlIES UÉPL^■DE^T D UNE VAliLARLIi. 6»

soit la valeur de X appartenant à l'ensemble considéré,

la série

est absolument et uniformément convergente pour toutes les valeurs de x appartenant à V ensemble considéré et il en est de même du produit infini (')

ne- ■>■

Que la série soit absolument convergente, cela est évident, puisque chacun de ses termes est moindre en valeur absolue que le terme correspondant d'une série convergente à' termes positifs. D'uQ autre côté, si l'on se donne un nombre positif s, on pourra déterminer un nombre positif r tel que l'on ait

gr+\-^ gr+i^ g,-^i-\- ■■■<'- -,

on aura donc, quel que soit/>, sous la seule condition n^v, et, par suite,

et cela quelle que soit la valeur de x appartenant à l'ensemble considéré.

Pour ces mêmes valeurs, le produit infini

est absolument et uniformément convergent, comme on s'en convainc de suite en comparant la série équlvaleutc à ce produit à la série équivalente au produit convergent

nc-^.)-

(') VVEiEnarnASS, Abhandlwtgen aus der Func

àO IMWODUCTION.

Mais il importe de remarquer plus généralement que si, pour un ensemble de valeurs de x, la série à termes positifs

est uniformément convergente, et si sa somme reste inférieure à un nombre fixe A, le produit infini

rie-.)

sera absolument et uniformément convergent pour cet ensemble de valeurs de x, ainsi que la série équivalente

En effet, les quantités Pi, P^, . . ., P,j, . . . , P sont toutes inférieures en valeur absolue à

or, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier r tel que, sous la oondirion /( > r, on ai L

i««| + l«,.+iK|«„+,l+...<|; on aura donc, sous les mêmes conditions,

el cela quelle que soit la valeur de x appartenant à l'cnsemLle considéré.

23. Considérons un ensemble (E) de valeurs de x jouissant de la propriété suivante : Quelle que soit la valeur X(, appartenant à l'ensemble considéré et quelque petit que soit le nombre positif e, il existe des valeurs de x appartenant à l'ensemble (E) et telles que l'on ait

L'ensemble (E) pourra être constitué, par exemple, par l'ensemble des valeurs de x figurées par les points d'un arc de courbe, ou par les points d'une aîre limitée par un contour simple.

SÉRIES DONT LES TEllMES KÉPENDEKT D'UNE VARIABLE. 87

Siy(ar) esl «ne fonction de x définie pour toutes ces valeurs de X, on dira qu'elle est co/iii/twe pour l'ensemble (E) si, à chaque nombre positif a, si pelil qu'il soil, l'on peut faire correspondre un nombre positif p tel que l'on ait

pour toutes les valeurs x, x' de l'ensemble (E) telles que l'on ait

26- Ces définitions rappelées, supposons que, pour l'ensemble (E), les fonctions «(, m^, .. ., a,,, ■ ■ ■ de la variable x soient continues et que la série

soit uniformément convergente. La somme de cette série sera alors une fonction /(a:) définie el continue pour cet ensemble.

Soil, en effet, Sn(a;} la somme des n premiers termes de cette série, R«{3:) le reste ; on aura

Puisque la série est uniformément convergente, on peut, à chaque nombre positif e, faire correspondre un entier n tel que l'on ait