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pour toutes les valeurs de x appartenant à (E) ; n étant fixé, on peut, à cause de la continuité de S„(x) qui est manifeste dans l'ensembîe (E), faire correspondre au nombre e un nombre positif ïi tel que, pour toutes les valeurs x-, x' appartenant à (E) et vérifiant la condition \x — x'\<^'ti^ on ait

On aura donc, pour ces mêmes valeurs de x,

\f{x) -f{œ') 1 = 1 [S,.(^) - S„(^')] + R„(;*.) - R4:r') ] < ., C'est ce qu'il fallait démontrer.

Si, en otilrc, la série est supposée absolument convergente, on verra de racme que le produit infini

définit une fonction continue de x pour l'ensemble (E).

27. Soient o(i), '\{,t') deiix fonctions réelles de la variable réelle (, admettant dans l'intervalle (ro,i() des dérivées finies et continues 'f'(i), ^(O- -Ijorsque t variera de ;„ à i,, le point dont i'affixe est

décrira un arc de courbe (C). Considérons l'ensemble (E) des Taleurs de a; figurées par des points de (C) et soit, en général, F(jr) une fonction continue de X pour l'ensemble (E) ; en remplaçant, dans cette fonction, x par u(i) + i '^(f), elle prendra la forme

^(i), I'"(i) étant des fonctions réelles et continues de t dans l'intervalle (ip, t\ )■ Ceci posé, nous rappelons que l'on appelle intégrale de F(a;) prise le long de la courbe (C) et qu'on représente par le symbole

l'intégrale

= jf ' [*(0 f (0 - ^no 4''(0] -^^ + '/ ' ['i'(o i-'C) + 'F(o 9'(oi '^'■

L'existence des deux intégrales qia figurent dans le second membre, intégrales où tout est réel, est certaine, en raison de la continuité.