Soit maintenant une série

SÈIIIIÎS DO.NT LES tËIDIES DÉPENDICTT d'uMÎ ÏAIlLt lll.i;, Sg

uniformément convergente pour l'ensemble (E) des points de la courbe (G), et dont les termes soient des fonctions continues de x pour ce même ensemble. Désignons par F(x) la somme de cette série, qui est (n" 26) une fonction continue de x. Nous allons prouver que la série

^1 dx -

■adX'V.

où toutes

les

in te

grale:

i soni

; prises

le long

de (C),

et a pour

son

ime

rr(.

) dx.

Si, en effet, on désigne par S,j(3;) la somme des ii premiers termes de la série (i), et par Rh(:c) le reste correspondant, S,j(x) et Rn{3:) seront des fonctions continues de x, et l'on aura

Çv{x-)dx= rS„(a^)(te+ fR„(3:)dT, Jq Je •Je

I S,i(cv)dx=f H,<^3;-i-/ liîdx -^ . . .-\- j u„dx,

toutes les intégrales étant prises le long de l'arc (C). Ceci posé, à chaque nombre positif e correspond un nombre entier positif r tel que l'on ait

|lî«(^)l<E,

sous la seule condition 'i5 '", et cela, quelle que soit Ja valeur de s: appartenant à l'ensemble considéré. On aura donc, en désignant par rf la longueur de l'arc,

|j^li„(^)rf^'j<

I V\„{x)d^:\<ti.

, la différence entre

et la somme des n premiers termes de la série (2) peut être supposée moindre, en valeur absolue, que tel nombre positif que l'on

ilo IN T no DUC T ION.

voudra, pourvu que n soit assez g^i'and. Cela prouve, à la fois, que la série (a) est convergente et que sa somme est égale à

Ce théorème s'appliquera, en particulier, lorsqu'on saura que la série (i) est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de a;, représentées par des points appartenant à une aire (A) limitée par un contour simple (*), et que ses termes sont, pour les mêmes valeurs de œ, des fonctions continues, la courbe (C) faisant tout entière partie de i'airc A.