Considérons maintenant les séries de la forme

où «II) «n "^2! ■ ■ ■ 1 '^"t ■ ■ • sont des nombres fiscs donnes.

Nous donnerons à ces séries, qui jouent en Anal yse un rôle très important, le nom de séries entières en x, et nous emploierons le symbole

pour représenter la somme d'une telle série supposée convergente : la lettre 5^ peut d'ailleurs être affeclée d'indices, pour permettre de distinguer des séries particulières. Enfin, quand aucune ambiguïté ne sera à craindre, nous pourrons employer le symbole ^{x') pour représenter, non la somme de la série, mais la série elle-même, regardée seulement comme la loi de ia succession de ses termes; ainsi, nous ne nous interdirons pas de dire d'rme série déterminée qu'elle est divergente pour une certaine valeur de X.

On doit à Abel deus tbéorèmcs sur les séries de cette nature, séries qui jouent, dans la théorie des fonctions d'une variable imaginaire, un rôle prépondérant.

(') A moins que l'hypothèse contraire ne soit expressément énoncée, garderons toujours comme faisant partie d'une aire limitée par un ce points intérieurs et les points da contour.

SÉRIES BO^T LES IlîRMES BÉPËNDENT d'UNE VAnlAIlLE. 4'

30, Voici le premier de ces théorèmes :

Si, pour x-=.b, la valeur absolue de chaque terme a„h" de. la série

est moindre qu'un nombre positif fixe h, la série ^{x) est absolument convergente pour toutes les valeurs de x dont la valeur absolue est moindre que celle de b.

Soit, en effet, b' un nomljre positif moindre que |/^|. La série à termes positifs

'^lè|^'^|6|^^---^"|il"

est convergente, Orles valeurs absolues des termes de la série $(x) sont, pour l'ensemble des valeurs de x qui vérifient ia condition

moindres que les termes correspondants de la s suppositions

les conclusions

On pourra donc appliquer les propositions du n" 24, et l'on voit que la série '^{x) est absolument et uniformément convergente, pourvu que l'on ait

c'est-à-dire pour tous les points situés à l'intérieur et sur la circonférence d'un cercle décrit du point O comme centre, avec un rayon moindre que | b\.

31. Si la série ^(x) du numéro précédent est convergente pour x^:b, comme la valeur absolue de aub" tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, il est clair qu'il existe un nombre positif A tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de n,

donc la série sera absolument convergente pour lous les points situés à Vintérieur dn cercle décrit du point comme centre el passant par le point b; elle sera uniformément convergente à l'intérieur et sur la circonférence de toiit cercle concentrique au précédent et de rayon moindre.

Différentes circonstances peuvent d'ailleurs se présenter : Oh bien !a série '^(^) considérée est convergente, quel que soit X : telle est la série

alors 'S{x) esl uniformément convergente dans tout cercle décrit de l'origine comme centre, et même dans toute aire limitée par un contour simple. Cette série 'S{x) représente alors ce que l'on appelle une fonction transcendante entière.

Ou bien la série '^S[œ) est convergente pour certaines valeurs de X, sans l'être pour toutes. L'ensemble des rayons des cercles décrits dn point O comme centre, et qui passent par des points pour lesquels la série est convergente, admet alors une limite supérieure R, Le cercle de rayon R décrit du point O comme centre est le cercle de convergence de la série 'S{x). La série est convergente en tout point intérieur au cercle R; elle peut être convergente ou divergente en quelques points ou en tous les points de ta circonférence; elle est divergente pour tout point extérieur. Elle est uniformément et absolument convergente pour l'ensemble des points situés à l'intérieur ou sur la circonférence d'un cercle concentrique au cercle de convergence et de rayon moindre. Là où elle est uniformément convergente, elle représente une fonction continue. Signalons, comme exemples, les séries

-f-. -fî- -|5'

qui admettent tontes trois pour cercle de convergence le cercle de rayon un, décrit du point O comme centre. La première est divergente poiir tout point de la circonférence de ce cercle, comme on le voit en posant 3: = cos» + î'sinip, et en remarquant que les deux quantités cosna, sinnai ne peuvent avoir simultanément

SÉiUliS DONT LES TULI.nRS DÉPESDENT d'UNE ÏAUllIil.K. (43

zéro pour limite quand n grandit indéûniment. La seconde est convergente, mais non absolument, pour tous les points de la circonférence ('), sauf pour a; = 1 . La troisième est convergente en tous les points de la circonférence.

Observons qu'une série entière en x pourrait n'être convergente pour ai7cune valeur de x autre que zéro : telle est la série

on dit alors que le cercle de convergence est de rajon nid.

(') Cela résulte de la première des deux propositions suivantes, signalées par M. DarbouK dans son Mémoire sur les /onctions discontinues {Annales de l'Ecole Normale supérieure, i" série, t. IV), et sur lesquelles on peut consulter l'Introduction à la théorie des fonctions de M. Jules Tannery, p. 96, n"?!).

Si la série à termes réels (qui peut être divergente)

que soit n, inférieure à un nombre fixe, 1

rmes reste, en i

(aleur absolue, quel -, positifs e„ £^, , . . ,

(II) =,g^,ï=.?.

(111) lim. s„ = (

la série

(IV) a,s,-^a,z,^-.-.+

Cette dernière série (IV) est encore conve et si les nombres positifs 6„ e,, ..., s„, lions (II).

rgcnte si la sérit . . . satisfont sei

; (1) est convergente

On prendra, dans le cas actuel, pour s,, e

les nombres i, -,

^1 ■■■) -, ■■- et, pour la série (I), l'une <

>u l'autre des séi

■ics (divergentes)

T-hCOS:p+COS.-^+,..

+ cos«?-h..,.

dans lesquelles les si

44 INTBODUCTION.

Enfin, nous nous contenterons d'énoncer le théorcmc suivant, dont la démonstration est immédiate.

Si le rapport — ^^ a, pour h infini, une limite égale à R, le cercle de convergence de la série

est de raj-on li.