Supposons encore que la série entière en x

soit convergente pour x = b. On peut afGrmcr qu'elle est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de x appartenant au segment de droite, qui va du point o au. point b. C'est en cela que consiste le second des théorèmes d'Abel, dont nous avons parlé.

Observons d'abord que l'on peut ramener le cas général au cas OH b est égal à un; il suffit, pour cela, de faire le changement de variable

Quand le point x décrit le segment qui va du point o au point 6, le point ^ décrit, en effet, le segment qui va du point o au point 1 .

Le second théorème d'Abel consiste alors dans l'énoncé suivant ;

Si la série

est convergente, la série entière en ce,

<P{3;) = «o+a,3:-Ha33r!-i-...-T-«„a^"-l-...,

est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de X gui appartiennent à l'intervalle {o, i), les limites de cet intervalle n'étant pas exclues.

On sait déjà, il est vrai, que la convergence est uniforme dans l'intervalle (o, a), a étant un nombre positif plus petit que i,

SÉilllîS DONT LRS TERMES DÉPENDENT d'UNE ViUlABLE. 4^

maïs lesraisoiinemenLsqiiiprécèdent ne permettent pas d'atteindre la limite i .

ChcrclioDs donc à prouver directement que, à tout nombre positif arbitrairement donné g, correspond un entier r, tel que, sous les conditions

le reste ^„(x) de la série 'S{x), limitée au terme de rang ii, soit, en valeur absolue, plus petit que s.

Comme la série (2) est convergente, au nombre s correspond nn entier r tel que, pour n >■ r,

c'est-à-dire [R„(i) | soit moindre qui D'autre part, si l'on pose

et si l'on observe que dp est la différence entre

et

on voit que l'on aura, quel que soit j3,

D'ailleurs les égalités précédentes donnent

donc ia somme desp premiers termes de R,i(a:), peut s'écrire

tf,a;»+i + (tf, - tfO^''^" -h . . . + (rf^ - a',^i)a;"+/'

^ 3,/m (i a;) (tfj + rfja- H^ . . . -1- tfp., fl^P-s ) 4- tfpa;"+/' .

Si la valeur absolue de x est plus petite que i, le terme <jpX"'^P tend vers zéro quand p augmente indéfiniment; on peut donc

Cl, puisque les valeurs absolues des quantités rfy, sont toutes moindres que £, od aura, en supposant que x soit positif et plus petit que i ,

or la série qui figure entre parenthèses dans le second membre, a poiir somme -■— — ; on a donc, sous les conditions n.>r, o^xO, |R,,(^)l<t^"+i<E.

En réunissant à celte inégalité celle que l'on a obtenue plus haul, sous les condilions

Ilî«(Ol<;^<^>

on a bien démontré J'uniformilé de la convergence dans tout l'intervalle (o, i), les limites n'étant pas exclues.

A cause de cette uniformité, la somme de !a série est une fonction continue dans tout l'intervalle considéré, sans en exclure la limite i ; si donc a: tend vers i par des valeurs positives inférîcnres à I, la somme de la série a pour limite la valeur de la somme delà série pour x = t, c'est-à-dire

Par exemple, l'égalité

(') L'eïpi'ession précédente du reste permet d'aller un peu plus loin, ainsi que M. Stola l'a fait observer (Vorlesangen ziber allgemeine Arilhmecik, t. II). En ne supposant plus a: réel, mais en supposant toujours sa valeur absolue | a; ] moindre que i, on a, en effet,

et il est aisé de montrer que le facteur qui multiplie e reste moindre qu'un Dombre fixe, pourvu que l'angle aigu des deux directions qui vont du point i aux points a; et o reste moindre qu'un angle aigu fixe.

SÉIIIKS DONT L]

éublie pour les valeiii

EHMLS DÉPiîNUEM' il V

ielles de œ inoîndrt

, montre que

En effet, la série du second membre est convergente, donc, en vertu du théorème qui vient d'être démontré, lorsque le nombre réel œ tend vers i par des valeurs moindres que i , la série

or, dans les mêmes conditions, î donc bien

= loga

33. Dans les deux paragraphes qui précèdent non: posé la série entière en ar

rgente pour x =^ b : lorsqu'on sait que la série est, pour cette même valeur, absolument convergente, les termes de la série y?(^) étant, pour l'ensemble des valeurs de x qui vérifient la condition [ a: I ^ I 6 1, moindres en valeur absolue que les termes, tous positifs, de la série convergente

oKU'.M-^

OU égaux à ces termes, on peut appliquer la première proposition da n" 24, et l'on voit de suite, sans passer par le second théorème d'Abel, que, pour l'ensemble de ces valeurs, e'est-à-dire à l'intérieur et sur la circonférence du cercle de rayon |6| décrit du point o comme centre, la série est uniformément et absolument convergente et représente une fonction continue. Ce cercle peut d'ailleurs être le cercle de convergence ou lui être intérieur.

Si. Le premier théorème d'Abel (o" 30) nous renseigne sur la convergence d'une série entière d'après les valeurs absolues des

4e iNTiionucTioN.

coefficients de cette série. Inversement, la proposition qui suit et qui est due à Cauchj nous donne un renseignement essentiel sur les valeurs absolues des coeffîeieuts d'une série entière que l'on sait être absolument convergente sur la circonférence d'un cercle.

La série $(;«) étant absolument convergente pour 3; :=: 6, supposons que l'on ait, en désignantpar A un nombre positif, lï(»,)liA

pour tous les points de la circonférence du cercle décritdu pointo comme centre avec le rayon r = \ b \; rrn aura alors

Partons, en effet, de l'égalité

il est clair (n°24)que !e second membre sera une série uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de x représentées par des points situés sur la circonférence du cercle de rayon /■ = \b\: on pourra donc intégrer celte série, terme par terme, le long de cette circonférence, ce qui donne

f<S{w)a:-"-'dx = a„ f ^-"-'dx-hai f x-"dx+...

toutes les intégrales étant prises le long de la cireonfcrcrice. Pour évaluer ces intégrales, on posera (n^ST)

d'où

et l'on aura, en général, en désignant par p un entier positif ou négatif,

I XI' dx = rt'+i j coi (p -h ( -t- ^ dt

SÉRllîS DOKT LES IEHMES DÉPENDENT d'uNE YARidELE. ^9

Si p est différent de — -i, les intégrales du second membre sont nulles; si /?=: — i, le second membre se réduit à aiV; on a donc (')

mais la valeur absolue de ^{x)x~"~^ est an pins égaleà A/-"""' et la longueur dn chemin d'intégration est aitr; le second membre de celte égalité est donc an plus égal à k.r~", ce qu'il fallait démontrer.

35. Voici une conséquence importante de cette formule. Si la série entière en x

est convergenle quel que soit x, et qu'elle ne se réduise pas à la constante «„, sa somme ne peut rester moindre en valeur absolue qu'un nombre positif A pour toutes les valeurs de X. En effet, l'inégalité

si l'on pouvait y faire grandir r indéfiniment, montrerait que |(ï„| peut être pris plus petit que tel nombre positif que l'on voudra ; on aurait donc

pour toutes les valeurs de « à partir de i .

On voit que, si l'on se donne les nombres positifs A, B, il j a au moins une valeur de X, telle que l'on ait

Cette propriété rapproche les fonctions transcendantes entières des polynômes entiers en ^. Il j a toutefois une différence essentielle :

(') C'est, aussi bien, comme l'on sait, une conséque

j,.,^^J^l!£La

5o INTBODUCTIOK.

pour les fondions transcendantes entières on peut affirmer seulement l'existence d'une valeur de a: satisfaisant aux conditions précédentes ; pour les polynômes, au contraire, si l'on se donne A, on peut trouver Tin nombre B correspondant tel que toutes les valeurs de X qui vérifient la première inégalité vérifient aussi la seconde.