Soit

une série entière en x, convergente pour les valeurs de x telles que l'on ait

^(x) est alors une fonction continue dans tout cercle de rayon li' moindre que R; on a d'ailleurs

si donc C'a n'est pas nul, on peut fixer un nombre c, inférieur ou égal à R', tel que l'on ait

pourvu que l'on ait

Pour les valeurs de x qui vérifient cette condition, S'(^) ne sera jamais nulle.

Si les coefficients «„, «,,..., «p^, sont nuls sans que «^ le soit,

et l'on volt qu'il existera un nombre positif 3 tel que, parmi les valeurs de ^ qui vérifient l'inégalité I^lë5,

7:éro soit la seule pour laquelle 9^(x) s'aiinuîe. Par conséquent, pour que 'S{x) s'annule en une infinité de points disllncts dont l'ensemble admette zéro pour limite ('), par exemple pour tous

I') Ou dit que des poiots appartenant à un ensemble infini admettent % pour limite si, quelque petit que soit e, il existe dans le cercle décrit du point \ comme centre avec un rayon égal k s une infinité de points appartenant à l'ensemble.

SlîRrES DOiST LES TERMES DÉPEHDENT d'cnE VARIABLE. 5l

les points d'un arc de courbe qui aboutil au point o, il faut que tous les coefficients a„, a, , «i, . . . , a^, ■ ■ -, soient nuls.

Par conséquent encore, pour tous les points d'un pareil ensemble, deux séries

ne peuvent avoir Ses mêmes valeurs sans être identiques, c'està-dire sans que l'on ait a,;^6,i pour toutes les valeurs de n. Il suffit, pour s'en convaincre, d'appliquer la remarque précédente à la série