Soit
W„-l- Ul+ ((5-1- . ..-+- u,^+. ■ ■= 2 "^
une série dont les termes sont des séries entières en x, en sorte que l'on ait, en désignant par ag.,^ des constantes,
Si le rayon du cercle de convergence de chacune des séries «„ est supérieur ou égal à un nombre positif fixe A; si en outre la
série \] lia est uniformément convergente pour l'ensemble des
valeurs de x qui satisfont à la condition
la somme de la série proposée % u^ sera, pources mêmes valeurs
de .X, une fonction tp (x) parfaitement définie. Nous allons montrer que cette fonction peut, pour ces valeurs de x, être développée en une série entière en x,
ba-i-b,x^...^h„œ»-^....
yGoosle
5ri INTR0DUCT10>i.
et que les coefficients de cette série sonl donnés par la formule
i.f(=a„,p^-«,,p^...-^-aa,fi^-■■■= 2"«'E^' la série qui figure dans ic second membre étant convergente. On voit que, sous les conditions requises, la série j" «« peut être traitée comme s'il n'y avait qu'un nombre fini de termes.
38. 11 j a un cas important et fréquent dans les applications où le précédent théorème est évident : c'est celui où la série à double entrée, dont les termes se déduisent de
on donnant à a, p les valeurs entières nulles ou positives, est convergente.
S'il en est ainsi, la série à double entrée, dont le tenue général est
est absolument convergente, pour les valeurs de x qui vérifient la condition jarl^A. En ajoutant les termes par lignes lionzonlaies, on trouve
el en réunissant les sommes partielles on reirouve la série 2. "«■
Au contraire, en ajoutant les termes par lignes verticales, on trouve
puis, en réunissant les sommes partielles, on forme la série
('^-i-(>,a:^-...-i-bi^ai?-h...:
dont ta somme est donc égale à celle de la série X '-'a- C'est c qu'il fallait démontrer.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'oNE TARIAGT.E.
Pour que la série à termes positifs, dont le terme généra! est
soit convergente, il faut et il siiffil (ii" 14) que les conditions rpi suivent soient vérifiées :
i" La série à termes positifs
|^.,oH-|«.,iA|-h|<.„,.A^i-^.--
est convergente pour cliacjue valeur de a.
a" En désignant par A^ la somme de celte série, la série à termes positifs
A,-!-A,-^...+ AaH-...
est eonvergenle.
Observons que, s'il en est ainsi, la série \ h» est absolument
et uniformément convergente (n° 24) pour lOTites les valeurs de x qui vérifient la condition x^A, puisque, pour ces valeurs, on a évidemment
en sorte qii'on est bien cians lo cas du n° 24. Observons encore que la série
reste convergente quand on y remplace les termes par leurs valeurs absolues et x par Â, et que sa somme est alors au plus égale à la somme de la série
Eu effet, cette dernière somme n'est autre chose que !a somme de la série à double entrée et à termes positifs
et l'on a cerUinenicnL
H importe de remarquer que si les conditions (i°) et (2"), imposées dans le présent numéro à la série
sont yérifices, elles sont encore vérifiées pour k série
dont les termes s'obtiennent en groupant ensemble, comme la tnéorie des séries à double entrée permet de le faire, les termes
de la série \ Ua en nombre fini oir iniini, en sorte que chacun
de ses termes figure une fois et une fois seulement dans quelque
terme de la série ^ i-y. En effet, si l'on effectue ie même groupe-
ment sur les termes de la série
A,+ A,+ A=-h...+ Aa4-...,
on la transformera en une série de mârae valeur
Jl,a+=l,i + -^= + .,.+ J,,i-i-..,;
d'ailleurs i-,, qui est la somme d'un nombre fini on infini delermes
pris dans % Ua., est, d'après ie théorème même que nous venons
de démontrer, une série entière en X, et la somme de cette série, quand on j remplace les coefficients par leurs valeurs absolues elx par A, est, d'après une observation qu'on vient de faire, au plus égale à X, : de même pour Cj. i.'„. . . . et J.<-.. . . ., Xa,
SÉRIES DONT LES TERHES DÉPENDENT d'uxE VARIABLE. 55
Ainsi, la série ^ ''y satisfait aux mêmes conditions que la série
39. Plaçons-nous maintenant dans le cas général et supposons seulement que, pour l'ensemble des valeurs de x qui vérifient la condition
les séries entières nax
soient absolumenl convergentes el que la série \ Ua soit uniformément convergente (').
La somme des (n + i) premiers termes de cette dernière série est une série entière en œ, convergente sous la condition l3;|-< A; nous la représenterons par
i,:, (.+ ?'„, l^+----l-/'„ R.-rP-t-...,
JNous allons montrer que, si/i grandit indéfiniment, l)n,^ tend v une limite que nous désignerons par 6p, puis, que la série
est convergente sons la condition | as | <; A et que sa somme est égale à celle de la série
Puisque cette dernière série est uniformément convergente, on peut, à chaque nombre positif e, faire correspondre un entier positif r tel que, si on désigne par ra et m -1-/5 deu'x entiers plus grands que r, el d'ailleurs quelconques, on ait, pour toutes les valeurs
-(') WniEftSTfiASS. Abhandlungen ans dcr Functionenlehre, p. 7$.
àô ifmioiiccTiON.
lie X plus petites que A en valeur absolue,
On a d'ailleurs, pour ces mêmes valeurs cie x^
Soit p un nombre positif, moindre que A; l'inégalité précédente ayant Heu pour tous les points de la circonférence du cercle de rayon p et de centre o, on a (n" 34)
est donc convergente, puisque la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris après !e terme de rang r, peut être supposée moindre, en valeur absolue, que tel nombre que l'on voudra. Soit 6a îa somme de celte série, c'est-à-dire !a limite, pour n infini, de la somme è„^p de ses «+ « premiers termes, et soit Rn,p le reste correspondant à 6„,p; on aura
Cette dernière inégalité montre, par le premier théorème d'Abel, que la série
est absolument convergente si la valeur absolue de x est moindre que p; puisque p est seulement assujetti à être moindre que A, on voit même que celte série est absolument convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition
SÉRIES DONT LliS THItlIES UÈl'KNDIiM II UNE VARUULE. 57
éLanl convergentes, il en est de même de la série
obtenue en les ajoutant terme à terme; il ne nous reste donc plus qu'à prouver que la somme de celte série est égale à la somme de la série proposée
Or, si p' est un nombre positif moindre que p, et si l'on a
la somme
|R„,oK|R„,i^|-i-...+ |iî„,p^P|-i-..,
où II est toujours supposé plus grand que ;■, est inférieure à
Donc la différence
R„, -T- R„, 1 37 -h ... -I- R„, ps:?-h..., entre la somme
et la somme
U0-hUl-h...-hli,„
des n + I premiers termes de la série proposée, estj en valeur absolue, plus petite que t'.
Sous la conditiou que x vérifie l'inégalité
on a donc
d'où l'on conclut que, pour chacune de ces valenrs de a:, le premier membre de l'inégalité précédente est nul, puisque le second membre peut être pris aussi petit qu'on le veut. Il en est de mfime évidemment, pourvu que x vérifie l'inégalité
C'est ce qu'il fallait démontrer.
40. Le pvéccdenL théorème entraîne une proposilion analogue pour les produits infinis- Désignons toujours par
Ma= «a,o-l-na.i^-l- . ■-'- aa,^x^-^- . . . ,
une série entière en x, eonvergenie pour les valeurs de x qui saiLsfonl à la condition ] a; | <; A. Supposons que, non seulement la série
mais aussi la série à termes positifs
soit uniformément convergente pour ces valeurs de x, et que, en outre, sa somme reste inférieure à un nombre positif fise. Alors le produit infini
.Qo
sera absolument convergent et définira une fonction i + i|.(x), '{-(jr) désignant une série entière en x,
convergente poiii' les valeurs considérées de x.
On peut, en elïel, substituer à P — i la série équivalente
oùP„, est le produit des «premiers facteurs deP. Cette série (n'ai) est uniforinément convergente pour les valeurs considérées de x ; ses termes peuvent être mis; sous forme de séries entières en x, en appliquant la règle de la multiplication des séries ; on aura ainsi
remarquons, en passant, que les coefficients h„^p regardés des fonctions des aij peuvent être mis sous forme de poljnomi coefficients réels et positifs. En appliquant maintenant le tbéon
SÉllIES DONÏ LliS TlillMES DÈPEiSUENT D UNE VllUAIiI.K. Sg
précédent, on mettra la série équivalente à P — i sous la formo clierchée
en posaiil
^^= /ij,^+ /'],p-!-- • ■-■- à„,^A-...,
où la série qui figure dans le second membre est convergente. La somme de cette série est la limite, pour n infini, de la somme de ses H+ I premiers termes; cette dernière somme n'est antre chose que le coefficient de a;P dans le développement de
«„+«iP„-i-...-(-«„P«-,=(n-«o)(n-«,)...(i-^ !'.„)-!;
k^ n'est donc autre chose que la limite, pour n infini, de ce coefficient; en particulier /.o + i est la limite, pour n infini, de
et, en supposant qu'aucun des nombres i + a„^i, ne soit nul, k, est la limite, pour ;( infini, de
la quantité enlre crochets a donc pour limite — '-^! en sorte que la série
csl convergente et a pour somme — '-^■
M. il convient d'examiner le cas particulier, qui correspond au cas du n" dii, où la série à double entrée, à termes positifs,
est convergente. Il est aisé de voir qu'alo7-s la S' aP — i,
satisfait, pour les valeurs de œ telles que l'on ait
6o INTUOUUCIION.
aux condilioûs i" et 2" dn n" 38. En effet, en conservant d'ailleurs les notations du numéro précédent, considérons le produit infini à termes positifs
et la série à termes positifs, équivalente à Q — !,
Ao -^ Al Qo + . - . + A„ Q„- , -h . , . ,
où Q/i est le produit des n + i premiers facteurs de Q. Le produit AhQh.) pourra, par des multiplications de séries, être mis sous la forme
H„,„-hH„,iA -f-...-i-H„,pAP + ...,
où les H„^p sont les mêmes fonctions des 1 rt,,j | que les A„^p des(2,-j. En vertu d'une remarque antérieure on aura donc
la série
i ^«, 1 + I A„, 1 1 A -+- . . . + I A„, [i I AP+ . , .
est donc convergente et sa somme est au plus égale à A„Qn i. D'ailleurs la série à termes positifs
A(,+ AiQ„-l-...4-A,.Q„i + ..."
est convergente; la série équivalente à P — i vérifie donc, pour les valeurs de x qui satisfont à l'inégalité |a:|^ A, les conditions 1" et a" du n" 38 et peut donc se mettre sous la forme
k« + kiX + ...^k^X^ + ....
C'est précisément le résultat que nous avons obtenu dans le numéro précédent, pour le eas général.
Il est aisé de voir que, dans le cas qui nous occupe, la série qui fournit ^7- est absolument convergente.
Enfin, en vertu d'une remarque faite au n*' 38, la série
k„+kiX+...+ k^x'^-\-...,
qui reste convergente quand on y remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et x par A, a alors une somme qui est au
SfimiiS UONT LKS ÏERIIES IIËPENDENT I) LNE ViREABLR. 6l
plus ligale à celle de la série
Ao-t-A,Qo+...+ A„Q„i + ...= Q — 1.
Il convient de remarquer, comme dans le ii" 38, que, si les conditions imposées ici au prodiiit infini
sont vérifiées, elles le sont encore pour le produit liifiiii égal
dont les facteurs s'obtiennent en groupant ensemble, en nombre fini ou infini, les facteurs du produit P, ainsi que permet de le faire la théorie des produits infmisà double entrée. En effet, si on effectue le même groupement sur le produit infini
Q = (L + A„)(i + AO...(i + A«)...,
on le transformera en nn produit infini égal
d'ailleurs i -f- Wo étant obtenu en faisant le produit d'un nombre fini ou infini de facteurs de P, pris chacun une fois, iCo peut, d'après le théorème même que nous venons de démontrer, être mis sous la forme d'une série entière eux qui reste convergente quand onremplace loiis ses coefficients parleurs valeurs absolues et dont la somme est alors au plus égale à Bf,; de même pour (v,, Wn, . . . et B], B.j, ... ; enfin la série à termes positifs
est convergente; les conditions sontdonc vérifiées pour le produit transformé.
42. Nous allons maintenant déduire quelques conséquences très importantes de la proposition du n" 37.
Soit
une série dont le rayon de convergence est R. Pour une valeur
nnelconqne x satisfaisant à la condition
U fonction ^È{x) admet des dérivées première, .seconde, ntc, a sens de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire; c'es à-dire que l'expression
tend vers une limite 'S'[x) quand h lend vers zéro {'), que l'e; pression
tend, dans les mêmes conditions, vers une limite ï"(at), et ainsi de suite. Les dérivées successives de '■Si^x) ne sont autres que les sommes des séries convergentes
Soit en elTet x un nombre que nous regarderons comme fixe dans ce qui suit et dont nous supposerons la valeur absolue X moindre que R; soient Hun nombre positif fixe moindre que R — X et h une variable qui reste en valeur absolue moindre que H. Désignons enfin par Ap, A,, . . . , A,,, ... les valeurs absolues de a^, «,,..., a„, .... D'après le premier iliÉorèmc d'Abel (n° 30) la série à termes positifs
A„-T- Al (X -h II ) -H ... -f- A„(X -H n )" + ... , est convergente et il en est de même de la séné
'Ï(^ + A)=. aa+ai(x + h) + ...-^a„{^-^h)>^ + .. .
{•) En d'autres lermes, pour une valeur déterminée de x, au nombre '^(cc) correspond un nombre 'S'{a:) jouissant de la propriété suivante: ï chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un nombre 'ii tel que l'on ait
On a d'ailleurs
et la somme des valeurs absolues des termes du poljnome en h qui figure au second membre, quand on y remplace h par H, n'est autre chose que „(X + H)". La série
Ao'i-A|(X -h H)-H...^A„(X + !{)"-!- ..,
étant convergente, on voit que la série 'S[x ^h), où l'on regarde /i comme la variable, se trouve dans le cas du n" 38; elle peut être mise sous la forme d'une série à double entrée absolument convergente, qui peut être elle-même ordonnée suivant les puissances de /(. Les séries partielles
i.2«i-1-a.3o3a^-i-. . .-\-(n — i)rta„a;"-2-l-
-■-, sont absolument convergentes et, en désignant les sommes de ces séries par ^I'(x), $'(a;), <^'{x), ..,, on, aura
Cette formule subsiste tant que l'on a
l;.|sil.
Ou déduit de cette formide la relation suivante
qui montre, puisque le second membre est une fonction continue de h, que l'on a
et ainsi de suite.
64 INTnODTJCTTON,
Les séries 'S'{x), 'l"{x), . . ., aLsolomcnt convergentes tanL que l'on a
ne peuvent être convergea Les pour une valeur b de x telle que l'on
Si î'(^), en effet, clait convergente pour x:^b, on aurait
et a fortiori
par suite la série ^{x) serait convergente pour tes valeurs de x satisfaisant aux conditions
Toutes les séries 'S(x), 'S'(x), 'S"{x), . . . ont donc le même cercle de convergence. Il peut d'ailleurs arriver que, sur la circonfcrenec, la première série soit convergente sans que les autres le soient : c'est ce qui arrive si l'on suppose
La série
convergente assurément si l'on a
peut être convergente pour d'autres valeurs de h. Ce fait sert de fondement à la théorie de la continuation que l'on développera plus tard (n"' 31-60); la proposition qui fait l'objet principal du numéro suivant résulterait immédiatement de cette théorie ; toutefois nous la plaçons ici pour ne pas interrompre la suite des idées.
43. Soit 'S{x) rrnc série entière en x, coavergente dans un cercle C de rayon R et dont tous les coefficients ne sont pas nuls. En un point Xf intérieur à C la fonction ^(x) ne peut pas être nulle ainsi que toutes s.
SfiRlRS IlOXT LES TERMES DÉPENDENT D'UNE VAHIABLfi, 65
En effel, si l'on pose
Supposons que $(ic) soit nulle ainsi que toutes ses dérivées pour x-^Xy] alors le second membre sera nul quel que soit h ; te premier membre sera donc nul pour toutes les valeurs de x qui vérifient la condition
sons laquelle le développement de 'S{x), suivant les puissances de k = X — X, est légitime ; c'est-à-dire que 'j;(^) sera nulle pour tous les points x situés à l'intérieur du cercle C| décrit de x, comme centre et tangent intérieurement au cercle C. Il en sera de même de toutes les dérivées de ^(x), ainsi qu'on le voit soit en regardant une dérivée comme la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, soit parce que Ton peut écrire pour les dérivées î"(ic), ^'(x), . . . des développements suivant les puissances de /t analogues à celui de ï'(;c) que nous venons de considérer.
Si le cercle C, contient le point o, la fonction 'S{x) étant nulle en ce point ainsi que toutes ses dérivées, toiis les coéfTicients de son développement suivant les puissances de x devraient être nuls (n" 36), ce qui est contraire à l'hypothèse. Si le cercle C| ne contient pas le point o, on prendra à l'intérieur de ce cercle, sur le ra yon opposé à celui qui aboutit au point :c,, «n point x^ pour lequel on appliquera le même raisonnement; 'S{x) devra être nulle ainsi que toutes ses dérivées pour tous les points intérieurs au cercle Cï décrit de x-i comme centre et langent intérieurement à C. Si le cercle C^ contient le point o, la démonstration est terminée; sinon, en continiiant de la même façon, on parviendra évidemment à enfermer, au bout d'un nombre fini d'opérations, le point o dans un cercle à l'intérieur duquel on saurait que la l'onction <&(ic) est nulle ainsi que toutes ses dérivées et l'on arrive toujours à la même conclusion.
-ii. Voici maintenant quelques conséquences importantes de
fifi ISTHODUCTIOS.
celle proposilion et qu'il faut rapprocher des résullats analogues obtenus dans le n* 36 poiir le point o.
Pour X = Xi la fonction ${x) peut être nulle ainsi que ses dérivées, ^ (^i)) ^"(^0' • ■ ■ ' iw^is il existe une dérivée $'"' (^i ) qui n'est pas nulle. En supposant que toutes celles d'un ordre moindre soient nulles, on peut écrire
^(^)=tV^, (^-^.)"'
P(^ — X,) désignant une série entière en^x — x,) qui n'est pas nulle pour x^^x^ et qui est convergente dans le cercle C, ; on dit alors que x^ est un zéro d'ordre n de '£[x).
Le point x,, intérieur au cercle G, ne peut pas être la limite d'un ensemble infini de points pour lesquels 'S{x) s'annule, par exemple x, ne peut pas appartenir à un arc de courbe, si petit qu'il soit, en tous les points duquel $(x) s'annulerait.
DeuK séries entières en x, convergentes dans le cercle C, ne [)euvent avoir des valeurs égales pour les points d'un ensemble infini admeltant pour limite un point x, intérieur à C, ^ar exemple pour tous les points d'un arc de courbe intérieur à C, sans être identiques, c'est-à-dire sans que les coefficients correspondants dans les deux séries soient égaux.
Enfin dans un cercle G' eoncenlrique à G et de rayon moindre, il ne peut exister une infinité de points distincts pour lesquels 'Ë(x) s'annule : si l'on considère, en effet, l'ensemble infini que formeraient ces points, on voit qu'il admettrait nécessairement comme point limite un point intérieur à G' ou situé sur sa circonférence {') et dans tous les cas intérieur au cercle C.
