SÉBIE3 DONT LES TERMES DÉFENDENT D'UNE VABIABLE
sera convergente au moins dans le même cercle, car si, pour une valeur particulière de x, | a,tX" \ tend vers séro quand n augmente indéfiniment, il en est de même de — ^— x" .D'ailleurs, la dérivée '^{x) de la série ^(x) est égale à '-S{x)\ les deux séries f (at), ^(^) ont donc le même cercle de convergence (n" iâ). Enfin, on peut démontrer que, sur la circonférence même, la série ^(ic) est convergente aux points où la série ^{x) est elle-même convergente {' ) ; mais inversement, comme nous l'avons déjà fait observer dans le n" 42, sur la circonférence, la convergence de ^x) n'entraîne pas celle de 'S(x).
De l'égalité
résulte la conséquence suivante : si l'on considère un arc de courbe y, intérieur au cercle C, défini par la relation
oïl !a variable réelle t doit varier de t^ à t, et où '^{t), '^{f-) sont des fonctions réelles de t, admettant les dérivées 'f'(f), '\'{t), on aura,' en prenant l'intégrale le long de l'arc y et en désignant par x„, X\ les extrémités de cet arc qui correspondent aux valeurs t„, ti de (,
46. Reprenons les notations du n" 37 et considérons à nouveau
L seconde des propositions énoncées dans la iiote
(') Nous rappelons rapidement la démonstration de cette propositiou, afin d'éviter, dans l'esprit du lecteur, toute confusion entre les intégrales relatives aux variables imagioaires et celles qui se rapportent aux variables réelles.
Si, pour les valeurs de a; que définît la relation a: = ^^{1) + i-i/(t), on a, en désignant par *((), f (0? *, ( ')i f, (') ^^^ fonctions réelles,
(Sont tous les termes (') sont des fonctions de x satisfaisant aiiï diverses conditions imposées dans ce n" 37. La somme tp{a") de celle série pent, comme on l'a vu plus haut, être mise sons forme d'une série entière en x pour les valeurs de la variable qui sali.sfont à ia condition
or ks inlégrales qui figurent dans le second membre ayant le sens de !a tlnione des fondions d'une variable réelle, on voit, en tenant compte des égailles (I), (|ue ces intégrales sont respectivement égales îi
ce qni dijmontre l'ésalité
On aurait pu établir le même résultat en partant du théorème démontré au n° 18. En supposant la courbe y intérieure à un cercle C concentrique i G et de rayon moindre et en se rappelant que, dans ce cercle C, la série 'S{x) est uniformément convergente, on voit qu'on pourrait écrire
f(S(x)dx = a,J dx + a.Jx dm+.-.-'r- a^J a;
lL à établir les égalités
qui sont, au fond, des cas particuliers de l'égalité que nous voulons démontrer, mais qu'il est facile d'établir directement en se reportant à la définition des intégrales prises le long d'une courbe.
<') Nous écrirons u^(a:) à la place de k„ quand nous aurons besoin de mettre la variable en évidence.
SÉH1ES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'l'NE VARUHLIÎ. 69
elle admet donc (n" -42) pour ces valeurs, des dérivées ff'ia:), ffl''{^), . ..;nous allons montrer que, si l'on désigne par hJ,, «J^,. . ., les dérivées successives de la fonction «„, dérivées qui existent aussi en vertu du précédent numéro, les séries
sont convergentes pour les mêmes valeurs de a; et ont pour sommes
Soit en effet se un nombre fixe dont la valeur aSjsoluc X soit moindre que A : soit h une variable dont la valeur absolue H reste moindre que A — X. Considérons la série
dont les termes sont des fonctions de h ; on a, d'après le n" 42,
d'aillcurs la série ç(ar + /t) est uniformément convergente pour les valeurs considérées de h ; on peut donc appliquer le théorème du n" 37 et mettre <f{x-\-k) sous la forme d'une série entière en h ; on aura ainsi
et le théorème est démontre.
47. Supposons maintenant que, pour les valeurs de x qui satisfont à la condition
la série
soit uniformément convergente et que s à un nombre positif fixe, le produit
yGoosle
70 l.\TH0DUCT10.\,
pourra, pour ces valeurs de ^, être mis sous la forme d'une série entière ; la fonction V{x) admet donc des dérivées. Pour les former, on mcltra le produit infini
sous la forme d'une série entière en h, ce qui, en vertu du même raisonnement qiie pour la série, est possible pour loiiles les valeurs de h qui vérifient la condition
On a vu, n" 40, que, dans ce développement, le coefficient de la première puissance de la variaLle, qui est ici h, peiit se mettre sous la forme
hUo(x) n-U](a^) ■■■ i-l-u„(3;) '"]' pourvu qu'aucune des fonctions
i+«„(^), i+«,(^), ,.., i + Mx), ...
lie soit nulle, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de .v lelles que P(ic) soit différent de zéro. On a donc, en désignant par P'(«) la dérivée de P(at),
n^^^', +^^+ , < , P(oi;) 1 + Mo i-i-Hi~^'" ]-!-((„ ■■■■'
et l'on voit que la dérivée logarithmique de P(x) est la somme des dérivées logarithmiques de ses facteurs. Si P(^) était nul, il faudrait que l'un des facteurs, i -1- u,, par exemple, fût nul ; on verrait alors sans peine que la dérivée de P(-î^) serait donnée par la 'formule
c'est encore la même règle que pour un produit limité.
■48. Plaçons-nous maintenant dans le cas du n" 38, où, en conservant les notations de ce numéro, la série à double entrée et à
SÉRIES «ONT LUS TliKMUS DÉPENOIÎNT JVUMi VAlllABLli. 7I
termes posilifs
est convergente. Désignons par
ce que devient la série u„{x) quand on y remplace les coefûcienls ««,ppar leurs valeurs ahsolues;!! est clair <jue les dérivées [i',^{x), U°(^), ... de \J„(x) ne seront autres que les séries u'„{x), «n(x), ... dans lesquelles on remplace aussi les coefficients par leurs valeurs absolues. On voit de suite que la série
où l'on regarde a; comme une constante dont la valeur absolue X est moindre que A, et k comme une variable dont la valeur absolue est inférieure ou égale à A — X, satisfait, elle aussi, aux conditions (1°) et (2") du n° 38; en effet, chacun de ses termes peut être remplacé par une série entière en /( ; el (i°) si, dans k
on remplace les coefficients des puissances de h par leurs valeurs absolues et h par Â^X, on formera une série dont les termes seront respectivement moindres que les termes correspondants de la série
u„(X)-HU;(X)i— ^ -Y-V';,iX) ^'^~^'^ ' -i-...^ u„{A) = a„: d'ailleurs (3") la série
est convergente. Dès lors, on peut ajjpllquer à la série qui représente <p(x + /i) et au produit infmi
P(^-4-/0-fJ[l + <',.(^ + /0]
yGoosle
73 IMTBODUCTION.
les résultats obtenus dans les n" 38, 41, cl l'on a ainsi établi, sans s'appuyer sur la proposition générale di.i n" 37, que les séries
sont absolument convei-gentes tant que l'on a |a:[<;A, qu'elles représentent les dérivées cp'(^), y"(a:), . . . de la série o(x) et que, en supposant toutefois P{x) différent de zéro, la série
est absolumont convergente dans les mêmes conditions et représente la dérivée logarithmique de P(^)- Il est aisé de voir, en outre, que la série
satisfait aussi, ainsi que les dérivées suivantes de <^{x), ans conditions (i") et (2")du n° 38, pourvu qu'on remplace A par A — s, s étant un nombre positif aussi petit qu'on le voudra.
Enfin, en vertu de remarques faites dans les n*" 38 et 41, des conclusions pareilles s'appliquent aux séries et produits infinis que l'on peut déduire de la série f{cc) ou du produit infini P(x) en groupant les termes ou les facteurs de cette série ou de ce prodiiil,
■49. Voici encore une conséquence du n" 3". Soient
deux séries entières, la première en y, la seconde en x.
Supposons, en désignant par A et B deux nombres positifs, que pour les valeurs de a: qui vérifient lu condition
la seconde série soit absolument convergente et que l'on ait
yGoosle
SÉRIES DON'T LES TiîRMliS DÉPENDENT D'UNE VARTABI.I!. 73
supposons, de plus, que la premi<^re série soilaljsolument convergente pour^ = B.
La première série, quand on y regarde y comme égal à œ (œ), est uniformément convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition |x | <^Â; d'ailleurs [ï!(^)]"i pour ces valeurs, à cause de la règle démultiplication des séries, peut être mis sous la forme d'une série entière en a; ; il en est donc de même de la fonction /[(p(a:)].
En particulier, on se trouvera dans le cas du n" 38, si lu série à termes positifs
lioM-16,A1^...4-|6.A"|+.,, est convergente et a une somme égale ou inférieure à B.
50. I.a proposition précédente montre que l'inverse d'une série entière en x
où C est un nombre positif, peut elle-même être mise sous la forme d'une série entière en x, quand le premier cocffLcient Ct, n'est pas
l/i<kol;
on peut d'ailleurs déterminer un nombre positif D <[ C, tel que, sous la condition
|«|<D on ait
74 iKTnODUCTION.
K élant un nombre positif; cela résuUe de la continuité de 1
dans le voisinage de ^ ^ o. Dès lors, on voit que, poiirvo qno 3: soit moindre que D en valeur absolue, les conditions requises pour l'application du théorème du numéro précédent sont vérifiées, et, par conséquent, pour ces mêmes valeurs de x, l'inverse de 'S{ic) est elle-même une série entière en x. Il en sera de même du rapport
où $i(.K) est nne autre série entière en x, convergente lorsque l'on a I j; I < D, comme on le voit en multipliant les deuï séries
au surplus, pour trouver les coefficients de la série égale au rapport considéré, on pourra, au lieu d'appliquer le procédé précédent, employer la méthode des coefficients indéterminés ou effectuer la division comme s'il s'agissait de polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de x.
Des considérations d'une auii'e nature montrent que le cercle
de convergence de la série entière en x qui est égaie à g^T— r est la
plus petite des valeurs absolues des racines de l'équation $(j;)=^o.
