IV. — Continuation des fonctions

51. Les paragraphes précédents montrent comment la considération des séries entières donne naissance à des fonctions de X continues, admettant des dérivées. Toutes ces fonctions, obtenues par des séries entières, ou des combinaisons, en nombre fini ou infini, de ces séries, se ramènent elles-mêmes à des séries entières, et se trotivent loujotirs, à moins qu'il ne s'agisse de fonctions transcendantes entières, enfermées dans un cercle, le cercle de convergence de la série finale. 11 nous reste à montrer com-

SÉRIES DONT LES TERMES MPENDENT o'iXE VAIIUDLE, 70

ment on peut sortir de ce cercle : ou y arri\e par la notion tic la continuation des fonctions ( ' ), Soit

une série entière en x — Xo, admettant pour cercle de convergence le cercle Co, de centre x„^ de rayon Ro. La somme de cette série définit «ne fonction de x pour toutes les valeurs de la variable qui vérifient la condition

Cette série est, suivant la terminologie de M. Weierstrass, un élément de fonction analytique.

Soit, maintenant, Wf un point situé à Vintérieur du cercle C|>. Si l'on fait

il existera, d'après le n" 42, une série procédant suivant les puissances de /(, ayant la même somme que la série proposée, et convergente tant que l'on aura

c'est-à-dire tant que le point x est à l'intérieur du cercle décrit du point X, comme centre, et tangent intérieurement ou cercle C,, ; nous désignerons cette série par

Les coefficients b„, b,, . - . , &„, ... ne sont autre chose que les valeurs, pour te = ;c,, des fonctions

ignons par R, le rayon du cercle de convergence C, de la ?i(œ ~ X,). Deux cas peuvent se présenter : ou bien l'on

(') M. Méray, qui, par son enseignement et ses public; cevix qui ont le plus coiiuibué à fonder la ihéorie des fnnc

76 IKIRODUCTION.

aura, quel que soit le poinL x, intérieur au cercle (3„, DU bien, pour certains points au moins, 00 aura

Dans le premier cas, dont on a d'ailleurs des exemples ('), la (') Telle etl la sÉrie signalée par M. Urch {Acta mathematlca, t, X, p. 87)

diint le cercle de convergence a pour rayon 1 : si l'on pose

et si l'on suppose f = - îtt, p et q étant entiers, on voit sans peine qu'on peut écrive, pour celte valeur de la varïahle,

La seconde partie du deusième membre est réelle et la valeur absolue de la première est moindre que g — i : la seconde partie croit d'ailleurs indéliniment quand /■ tend vers un, par des valeurs croissantes; 11 en est donc de même de I 'S(x) l quand le point x s'approche de la circonférence du cercle C„ en restant sur le rayon qui aboutit au point dont l'affiïe est

cos^îi + isin^î-Ti-

on en conclut que ce point ne peut Être situé à l'intérieur du cercle de convergence d'une série $,(3; — 3;,) déduite de $(a:) comme il a été expliqué dans le texte. D'ailleurs sur toal are de la circonférence du cercle C„ se trouvent une infinité de points dont l'affiïe a la forme précédente; tous les cercles de convergence des séries telles que Ç!,(x~x^) sont donc tangents intériei cercle C^. Il en serait de même pour la série

et d'autres séries analogues qui se rencontrent dans la théorie des fonctions elliptiques, mais la démonstration est un peu plus compliquée. On pourra consulter sur ce sujet an intéressant article de M, Méray dans le Bulletin des Scieni:es mathématiques, a' série, t, XII, p. a48-

SÉRIES DOST LES TliLlMES DÉPENDENT fi VSB YAHIADT.!;. ^7

foDClion définie par la première série 'S(x ^ Xa) est réellemenl enfermée dans le cercle de convergence Cq ; elle ne peut être continuée au delà.

Le second cas esl celui qui se présente le plus souvent dans les applications élémentaires; nous allons nous y arrêter.

52. Dans le cas qui nous occupe maintenant, les deux cercles Cn et C, ont une partie commune [Cu,C,]. Nous allons démontrer que, en tout point ^, intérieur à la fois aux cercles Co, C,, les deux séries 'S„{x — Xg), ^i{x — Xi) représentent la même fonction.

D'abord, pour tout points', situé à l'intérieur du cercle Cj décrit du pointa;! comme centre et tangent intérieurement à Co, les deux fonctions $t{x — ■ Xa), 'Si{x — a:,) sont égales ainsi que leurs dérivées, La chose est évidente pour les dérivées, si l'on regarde celles-ci comme les limites du rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable. Elle apparaît aussi clairement, si l'on compare les deux développements

développements où ^"-^'{x' — Xo), ^'"'{x'^ X,) désignent les valeurs pour ^ =: .ï:' des /i'"""* dérivées par rapport à3:de^o('^ — ■^0)1 '£,(x — X,), et que l'on obtient en remplaçant, dans ces dernières fonctions, x par x' -]- h, puis en développant suivant les puissances de h. Ces deux séries entières en h doivent avoir des valeurs égales pour des valeurs suffisamment petites de h, et, par conséquent, doivent avoir leurs coefficients correspondants égaux {n"36). Si donc le point ^ est intérieur au cercle C\ , les deux séries *J'o(^ — X(,), 'S,(x — x,) ont môme valeur en ce point, ainsi que toutes leurs dérivées.

Si l'on considère, en général, deux points quelconques x^ et Cj on peut les supposer reliés de la façon suivante. Imaginons une suite formée par un nombre fini de points, d'ailleurs aussi rapprochés qu'on voudra,

yGoosle

dont les points x^ et ^ soient le premier et le dernier, et ii correspondante de cercles

lels que le centre de chaque cercle soU le point correspondant de

et que chaque cercle contienne, à son intérieur, le centre du cercle suivant. Nous appellerons la figure formée par ces cercles et leurs centres chaîne de cercles entre ic, et ^ (').

Les points Xi et Ç étant intérieurs à l'espace [^Co,C)], nous supposerons la chaîne formée de cercles qui soient tous intérieurs à cet espace et qui n'en touchent même pas la limite. On pourra, si l'on veut, prendre, par exemple, les points ^t, ^s, ■■■[ £« sur le segment de droite qui joint at, à ^.

Ceci posé, en tout point du cercle c,, les deux séries '■Sq(x — Xo), ^i(^ — X,) ont les mêmes valeurs, ainsi que toutes leurs dérivées; nous dirons que, dans ce cercle, elles coïncident. Le point ^1 est intérieur aux cercles c,, Cn, C). Si, dans l'une ou l'autre des séries <Sq{x ~ Xa), ^i{x — x,), on remplace x par Ii+:r— ^1 et qu'on ordonne par rapport à x — 1,, on formera deux séries identiques entières en x^'zi- On peut représenter l'une ou l'autre par

cette dernière série converge sûrement dans le cercle T) , intérieur aux cercles Go, C|, et y coïncide tant avec '^o(^ —^o) qu'avec <j?,(^ — Xi). Le point $a est intérieur aux cercles Co, G,, F). Si, dans les^séries So(a^ — x»), $,(3; — ^,), ra,(^~^.,), on remplace X par ^3+ ^ — ki et qu'on ordonne par rapport à ^ — ^2, on formera trois séries identiques entières cn x—^2, et dont l'une quelconque peut être représentée par

cette dernière série converge dans tout le cercle l\ intérieur à

{') Il est souvent commode de supposer que chaque cercle contienne aussi !c centre du cercle précédent, afin qu'on puisse descendre la chaîne en allant de ï à X., comme on la monte en allant de x. à t

SÉRIES ItO;(T T.ES TT.RHES BfiPENUENT Tl'uNF. VARIABLE. 70

C„ et à C, ety coïncide avec <.S<,(x — cr<,) et <i\{w—x,). On continuera de la même façon, et l'on parviendra ainsi, par un nombre^n( d'opérations, aune sdrie entière en x — ^,

convergente dans le cercle F de centre ^, intci'ienr nus cercles Cu et C|, et coïncidant, dans ce cercle, tant avec '■Si,{:c^ x,i) qu'avec '^) (x — x^). La proposition est démontrée.

53. Nous venons de voir qu'il existe une fonction f{x) qui, pour tout point intérieur soit au cercle Co, soit an cercle C|, coïncide soit avec ^0(3: — a;,)), soit avec ^\{x — X{), soil avec les deux, si le point x est à la fois intérieur aus deux cercles.

Pour un point de la circonférence du cercle Co situé à l'intérieur du cercle C), on doit prendre pour définition de f{x) la valeur que fournit la série $1(3: — x,). A. cause de la continuité, on voit que, si la série $0 {x — x^) se trouve être convergente en ce point, elle fournira la même détermination, comme il résulte du second théorème d'Âbel , en supposant qu'on s'approche du point X en suivant le rayon du cercle Co qui y aboutit. Mais la série ^\(a; — x^) peut n'être convergente en aucun point de ['axe considéré, et Wfaut alors recourir à la seconde série 'Si, [x — a:, ).

Les points situés sur l'arc de cercle C|, contenu à l'intérieur de Co, donneraient lieu à des observations semblables.

Les arcs de chacun des cercles Co, C,, qui sont intérieurs à l'autre, peuvent être effacés, et, dans l'aire limitée par les arcs restants, aire que nous désignerons par le symbole