C„ GO

on a défini une fonction univoque /{x), jouissant des propriétés qui suivent : En chaque point a Intérieur à l'aire considérée, la fonction est finie, continue, et admet des dérivées de tous les ordres; elle est développable en une série entière en x — o, convergente pourvu que la valeur absolue de x — a soit suffisamment petite. (On exprime souvent l'ensemble de ces propriétés en disant que la fonction est régulière en a.)

On dit aussi que la série 'So{x — ^^o) est continuée dans le cercle C, , hors du cercle Cn, par la série T( (x — x, ).

Sa i.NriiODi;cTiON.

oi. Il est à peine mile de faire remarquer que, si la série

est continuée par la série

les séries

dérivées successives de la première, seront., de même, continuées par les séries

dérivées successives de la seconde.

De même encore, si l'on pose ^(x — a:^) = '^ ix — Xa) ^ ^ {x — x„Y-^ . . ,-^ -^ ^. (a; — 2-()"+i-l- . . . .

la série ^oix — Xa) sera continuée, diins le cercle C, , par la série

qui, au point a;,, coïncide avec elle ainsi que ses dérivées. Dans le cas où le cercle Ci contiendrait le point Xa, les deux séries qui se contimient devraient être égales pour x ^^o; on aurait alors

5o. On a supposé, dans ce qui précède, que les cercles Go, C| étaient les cercles de convergence des deux séries 'Sa{x — x^), 'S,{x — ic,); mais il est évident que tous les raisonnements subsisteraient sans modification si l'on avait pris, à la place du cercle Co, un cercle concentrique de rajon moindre; puis, après avoir déduit de la même façon la série ^,(x — x,) de la série 'So{x — Xo), à la place du cercle C, un cercle concentrique plus petit.

Si l'on continue à supposer que les cercles Go et G, sont les cercles de convergence des deux séries 9„{x — Xo), ®, (ar — x,),

SÉRIES BONI LBS TERMES DÉPENDEKT D'UNE VAllIABLE. 8l

on peut faire une remarque intéressante relative aux rayons Ro etR, de C» et C, :

Le cercle C| étant, au moins, intérieurement tangent au cercle C,,, on a

RiàRo-la^i — ^ol- On a, de même,

Ro-^ Ri — I a?i — Xa\.

Cela est évident, si le cercle C) ne contient pas Xf, à son intérieur ; dans le cas contraire, cette inégalité résulte de ce que l'on aurait pu déduire la série ^«{^ — a?o) de la série $) (x — x^), comme on a déduit 'Ê,{x — x,) àe 'Sis{x — x^); on poserait

et la série qui figure dans le dernier membre serait identique, terme par terme, è.'Sf,{x — x^), puisque les deux fonctions $|(,« — x,), '^o(iC — iCfl) doivent, pour x = Xa, être égales, ainsi que toutes leurs dérivées (').

56. Si l'on prend un point Xa intérieur à l'aire {(Cj,, C,)) et si l'on considère la série

entière en x — x^, qnî représente en x^ et aux environs immédiats la fonction /(a:), il peut arriver que le cercle de convergence de '$2(x — X2) dépasse l'aire ((C,, C,)), ce qui permet alors d'étendre l'aire dans laquelle la fonctiony(ic) est définie. Et l'on peut continuer ainsi. On concevra d'ailleurs plus facilement la possibilité de celte extension par les remarques que nous allons faire dans ce numéro et dans le suivant.

Considérons une portion (Â) du plan, limitée par un ou plu-

(') Si l'on donne au point ic, les diverses positions qu'il peut occuper dans le cercle Cj, à chaque position correspondra une valeur pour R,. Il résulte de la remarque précédente que la limite aupérieure, de l'ensemble dos valeurs de Rj est aR„. On démontre que la limite inférieure de cet ensemble est 0, limite qui n'est d'ailleora atteinte pour aucun point intérieur a G,.

T. et M. - I. T)

sieurs contours, mais d'ailleurs co««ea?e, c'est-à-dire telle f|T.ie l'on puisse toujours joindre deux points intérieurs à (A) pat une ligne brisée située tout entière dans (A) et n'en rencontrant pas le contour.

Supposons qti'une fonction f{x) soit définie pour tout point a appartenant à (A) ou à son contour, et soit telle qu'il existe une série ®a{^ — «); convergente pourvu que la valeur absolue de ic — a reste inférieure à un certain nombre positif fi\e r, indépendant de a, aussi petit qu'on le voudra, et que cette série ait les mêmes valeurs que f{x) dans le cercle de centre a et de rajon »"('). Nous dirons que la fonction /(a;) est holomorphe dans l'aire (A), et sur son contour.

Soit une seconde fonction f(x) aussi holomorphe dans l'aire (A) et sur son contour, le rayon de convergence des séries entières par lesquelles on peut l'exprimer aux environs de chaque point étant aussi au moins égal à r.

Si en un point a, intérieur à (A), les deux fonctions /(:c), »(^) sont égales ainsi que toutes leurs dérivées, elles coïncident en tout point de l'aire (A).

Autour de ce point a, en effet, dans un cercle de rayon égal ou inférieur à r, les deux fonctions sont représentées par la même série entière en œ — a; soil maintenant biin autre point intérieur à (A), on pourra relier les deux points a, b par une chaine de cercles, tous de rayons inférieurs à /' et tous intérieurs à l'aire (A). Dès 1 ors, le raisonnemeni employé dans le numéro précédent pour

(') Toutes les lestrietions que nous taisons ici, comme le lecteur s'en convaincra sans peine, ne sont pas nécessaires; elles sont faites pour faciliter le raisonnement dans une théorie dont nous ne voulons exposer que les parties les plus essentielles.

Ainsi la fonction f{a>), définie dans l'aire ((C„ CJ), dans le n° 53, ne satisferait aui conditions imposées que si l'on substituait aux cercles C„, C, des cercles respectivement concentriques, mais de rayons moindres.

Ajoutons encore qu'en pi d i s qui servent de contour ou de lignes

d'intégration, nous supp j que l'on a affaire à des lignes formées

d'un nombre fini d'arcs d n b i I i comme des portions de droitea, d'arcs

de cercles, etc., ou, plus en I m n d rcs de courbes analytîgues, c'est-à-dire telles, que les coordonné g 1 d'un de leurs points puissent s'expri-

mer par des séries en à ff nts réels, par rapport â un paramètre

réel t, lequel ne doit v q d 1 limites où ces séries sont absolument

convergentes.

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT 1>'UNE TAIitACLE. 83

prouver que, au point ^, les deux séries $,,{3; — œ^), $, {x — Xf) avaient même valeur, ainsi que toutes leurs dérivées, subsiste évidemment; en allant de cercle en cercle, on voit que les deux fonclions/(3;), tf(^) sont représentées, dans chaque cercle, par la même série entière. On voit aussi d'ailleurs que ces deux fonctions doivent coïncider sur le contour de (A).

En particulier, si 'Sa{cc — a) est la série entière en x — a qui représente la fonction /(a:) dans le cercle de rayon r cl de centre a, l'cgalité

devra subsister pour tous les points x qui sont à la fois situés à l'intérieur du cercle de convergence de la série et à l'intérieur de (A), Si l'on considère un cercle de centre a et situé tout entier à l'intérieur de (A), l'application évidemment légitime de la formnlc de Cauchy

OÙ l'intégrale est effectuée le long de la circonférence de ce cercle, dans le sens direct, montre que l'on a, pour tous les points x intérieurs à ce cercle,

Le second membre n'est autre chose que la série $a [x — a) el l'on volt que le rayon du cercle de convergence de celle série est au moins égal à îa plus courte distance du point a au contour de (A) { ' ). Le rayon du cercle de convergence est même nécessairement un peu plus grand, en raison de l'hypothèse qui a été faite sur la façon dont la fonction f{x) se comporte sur le contour de (A).

Si maintenant ou part d'un point b intérieur à la fois à (A) et au cercle de convergence de la série 'Snix — a), et que l'on forme

(') Celte dernière conclusion pourrait se déduire, eu ut des propositions appartenant à la théorie même des série: dans la note du n» 55.

la série

pour tous les points x situés à la fois dans (A) et à l'intérieur du cercle de convergence de la série '^bi^x — 6), en sorte que, dans (A), la continuation de la fonction 'Sa{x — a), effecUiée comme il a élé expliqué dans les n"' 52 el 53, sera toujours fournie par la fonction /(a:).

Supposons enfin que l'aire (A.) soit limitée par un contour simple. Alors, si l'on part du point a intérieur y (A) pour atoulir, en suivant une courbe y dont tous les points appartiennent à (A), à un points appartenant anssi à A, l'intégrale

Jf{^)d^= J f{œ)dx

sera, comme il résulte du théorème fondamental de Caucliy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, indépendante de la courbe (y); elle définira donc une fonction F{ic), univoqne dans l'aire (A) et Ton sait, par la théorie de Caucliy, que cette fonction est holomorphe dans (A).

On arriverait assez facilement à la notion de celte fonction F(.2:) en continuant dans l'aire (A) la série '^{x — fl) entière en (x — a) qui a pour dérivée, dans le cercle de centre a et de rayon /■, la série ^,i(a: — a) et cela en suivant un procédé qui sera expliqué tout au long au n" 04; nous laisserons ce soin au lecteur.

57. Considérons maintenant deux portions du plan (A), (B) limitées chacune par un contour simple et deux fondions /(a;), »(^) holomorphes chacune dans l'aire correspondante et sur son contour, au sens qui a été fixé dans le dernier numéro.

Supposons que les deux aires (A), (B) empiètent l'une sur l'autre et qu'en un point a intérieur à la fois à (A) et à (B), les deux fonctions /(;»), tp (3:) soient égales ainsi que toutes leurs dérivées correspondantes. Alors il est clair, par le numéro précédent,

SfiRlES DONT LES TERMES DÉPENDENT L UNE VAltlAILE. OD

que les deux fonctions ne cesseront pas de coïncider, ainsi qne toutes leurs dérivées dans tonte la région (C) commune à la fois à (A) el à (B), et dont les différents points peuvent être reliés à a par une ligne brisée dont tous les points appartiennent àla fois à (A)età(B).

Supposons d'abord que les deux aires (A) et (B) n'aient pas d'autres points communs que ceux qui appartiennent à la région

(C) ainsi définie : on pourra effacer la partie du contour de (A) qui est dans (B), celle du contour de (B) qui est dans (A) et dans l'aire

dont les points appartiennent soit à (A) soit à (B), on aura défini une fonction bolomorpbe F (3;), égale à. /(^), à^(^) on aux deux fonctions/{x) et f{x), suivant que le point x est dans (A), dans (B), ou à la fois dans (A) et dans (B).

Mais, si les deux aires (A) et (B) ont une autre région commune

(D) telle que l'on ne pûl y pénétrer en partant de a et en restante la/ois dans les aires (A) et (B), rien, dans ce qui précède, n'autorise à dire que, dans cette région (D), les deux fonctions /(^), ^(ic) coïncident. Il pourra, suivant les circonstances, en être ou n'en être pas ainsi, el il faudra se garder, dans ce dernier cas, d'effacer les portions du contour de (A) ou de (B) qui limitent la région (D). On voit, sans que nous insistions davantage, comment s'introduit de cette façon, la notion de coupuj-e, que nous supposons d'ailleurs familière au lecteur.

58. Donnons un exemple des méthodes et propositions quiprécèdent. Parlons de la série

dans laquelle le cercle de convergence C a évidemment l'unilé pour rayon. En un point x intérieur à ce cercle, on a pour les dérivées

yGoosle

Hb IKTEODUGTIOX.

el par suite, Xi étant un point intérieur à C,

<S{:r)=>S{Xi)^

On \oit d'ailleurs que la série

eulière en a: — x,, est convergente tant que l'on a

c'est-à-dire tant que le point ^esl situéà l'intérieur du cercle C,, décrit du point x, comme centre et passant par le point — i. Ainsi le cercle de convergence de la série

est généralement extérieur en partie au cercle C, ell'on a ainsi un premier moyen de continuer la fonction 'S(x) en dehors du cercle C, moyen dont on pourra d'ailleurs poursuivre plus loin l'applica-

D'autre part, si x' est un point quelconque eslérieur ou intérieur au cercle C, mais dont toutefois l'affixe n'est pas réelle négative et plus petite que — i (ou = — i), la série

entière en x — x', est convergente tant que x vérifie la condition

c'est-à-dire tant que x est situé à l'intérieur du cercle C décrit de x' comme centre et passant par le point — i ; et comme la dérivée par rapport k x àe 'S ( -, j est égale à