SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D'UNE VAKIAELE

les fonctions

oal en x louLes leurs dérivées égales; on en conclut que, en désignant par a une valeur de x vérifiant à la fois les conditions

les deux fonctions

coïncident ainsi que leurs dérivées au point a. Elles coïncident, par conséquent, dans toute la région commune à deux cereles respectivement concentriques aux deux eereles G et C et de rajons un peu moindres; par suite enfin, en un point quelconque de la région commune aux deux cercles G, C', laquelle contient le point a. Si l'on efface les portions des deux circonférences G, G' dont chacune est intérieure au cercle dont elle ne fait pas partie, on a défini dans l'aire

une fonction unique f{x) liolomorplie dans cette aire mais non sur le contour.

Si l'on avait pris comme point x' un point d'affixe réelle négative et plus petite que — i, il n'existerait pas de point a; c'est pourquoi nous avons exclu ces valeurs de x' .

Si l'on considère maintenant un autre point x" tel que la circonférence C" décrite du point x" comme centre et passant par le point — 1 n'ait aucun point commun autre que ce dernier point avec la région [C, G], commune aux deux cercles C, G', el, si l'on désigne par b un point intérieur à la fois aux deux cercles G, G", on voit que les deux aires limitées par des contours simples, C" et ((C, C')), auront en général deux parties communes : l'une contient le point b; les points de l'autre ne peuvent être reliés au point h sans franchir le contour de l'une ou de Tautre des deu& aires. Dans la première, les fonctions /(a;) et

KTT?)-*'(r^)-*("

s» INTRODUCTION,

coïncident; rien n'autorise à dire qu'elles coïncident dans la seconde, et, en effet, elles n'j coïncident pas. Nous le savons, d'ailleurs, par les propriétés bien connues de la fonction non univoque log(n- x), et nous ne nous arrêterons pas à montrer comment le procédé précédent pourrait permettre de le reconnaître directement.

89. Il nous reste encore, pour terminer ce sujet, à expliquer ce qu'il faut entendre par continuer le long d'une courbe une fonction définie par une série $({ic — ^o)) entière en Xq.

Supposons que les points Xg, Xi, . . ., Xn soient les centres respectifs des cercles Co, C, , . . . , C,, formant une chaîne {o° 52), c'est-à-dire tels que chacun de ces cercles contienne le centre du cercle suivant; supposons, en outre, que les séries

soient respectivement convergentes dans ces cercles, et que chacune ait été déduite de la précédente par continuation, de sorte que l'on a, par exemple.

Enfin, supposons les points Xa, ^i, ■ . . , x» situés sur un arc de courbe (S), commençant au point Xf,, finissant au point X/, et satisfaisant aux conditions suivantes :

A chaque valeur de l'arc s, compté à partir de x^, correspond un point unique de la courbe. En se déplaçant sur la courbe de façon que l'arc s grandisse d'une manière continue, on rencontre successivement, et dans l'ordre indiqué, les points iCfl,;^,,.^;^,,.., a;,,, en décrivant successivement les arcs XgXf, x,x<i, , • ., x„,x,t, respectivement contenus à l'intérieur des cercles Co, C), -.., Cn|. S'il arrive que deux de ces arcs se croisent, on regardera comme essentiellement distincts le point du premier et le point du second arc qui coïncident; ces deux points se distingueront par la valeur de l'arc s, qui n'est pas la même pour l'un et pour l'autre. Convenons encore, si ^ est un point quelconque de la

SÉRIES DOM LES TlîHMES DÉPENDENT n'UNH VABIAItLR. 89

coiirbe (S) correspondant à la valeur rf de l'arc s, el si (y) esl un cercle décrit du point ^ comme centre, d'appeler arc de ia courbe intérieur au cercle (y) la portion de cette courbe qne l'on décrit en faisant croître ou décroître 5 à partir de rf, jusqu'à ce qu'on rencontre la circonférence du cercle (y); s'il y a d'autres points de la courbe intérieurs au cercle (y)i on n'en tiendra pas compte. Ceci posé, nous définirons sans ambiguïté, pour tout point x delà courbe (S) correspondant à un arc adonné, une fonction/( a;), par cette condition que, si le point x appartient à l'arc a;,a:,*+i , la valeur de/{a;) soit égale à celle de 'Si{x — xi).

La fonction f{x) jouit de la propriété suivante : Si l'on considère un quelconque ^ des points de (S) correspondant à la valeur d de i"arc s, il existera un cercle (y) de centre ^, de rayon p indépendant de tf, et une série ^^!(x — ^) entière en x — ^, telle que l'on ait

pour tous les points de l'arc de la courbe (S) intérieur au cercle (y). Il suffira, en effet, de prendre pour p un nombre inférieur à chacun des nombres S), 3^, , . ., Sn i, où S; désigne la plus courte distance d'un point de l'arc iriX,-+t à la circonférence du cercle C,, et, en supposant que ^ appartienne à ce dernier arc, de prendre pour la série in(x — 5) la série qui se déduit de 'Si^x — x,-), en substituant x — ? + ^ — Xi k x — a;;, et en ordonnant suivant les puissances de x — ^.

Toute fonction /(x) jouissant de la propriété précédente est entièrement déterminée dès qu'on se donne la courbe (S) et le premier élément ®o{^ — ^0), 0^1 ce <ïwi revient au même, les valeurs des dérivées successives de la fonction /(x) au point x„. On s'en convaincra sans peine par un raisonnement employé déjà plusieurs fois, en s'avançant successivement sur la courbe (S) à partir du point Xq, et en formant une chaîne de petits cercles de rayons égaux à p dont les cenires soient sur (S), el se succèdent dans un ordre tel qu'on les rencontre successivement en marchant sur la courbe dans le sens des arcs croissants à partir du point Xa- On voit, d'après cela, que si, pour continuer la fonction $(i(^ ^^0) jusqu'aii point x„, on avait pris sur la courbe (S) une autre suite de points x\, x'^^ . . ., x', x„ correspondant à des

go INTRODUCTION.

valeurs toujours croissantes de l'arc s, de manière à obtenir, toiijours par le même procédé, une suile de séries entières en X — x\, X — a^'j, . . ., X — x'p^ et enfin x — x,,^

la dernière série ne peut qu'être identique à la série ®«(^ — Xit), trouvée au moyen de la première suite de points. On a ainsi une idée très nette de ce qu'est la continuation d'une fonction, donnée par un premier élément $o(a: — a^o), quand on suit une courbe déterminée, en supposant que cette continuation puisse se faire.

On conçoit d'ailleurs que, en suivant deux chemins différents pour aller du point ^^ au point x„, on parvienne eu ce point avec deux séries différentes, entières en x — Xn-, quoiqu'on soit parti du même élément $o(a! — x,^.

Si la courbe (S) fait partie d'une aire (Â) dans laquelle on ait défini (n^SC) unefoncLiony(a^) bolomorplie dans (A) etsuvle contour, et si l'on part de l'élément Îd(x — Xo), qui coïncide au point xn et aux environs avec f{x'), il est clair que la fonction que l'on définira ainsi le long de la courbe (S) coïncidera toujours avec /(^), et, dans ce cas, si l'on aboutit au même point x„ en suivant deux chemins différents, appartenant tous les deux entièrement à l'aiie (A), on arrivera en x„ avec la même série 'S„{x — x,i).

60. Reportons-nous maintenant au commencement du n" 56, où, en partant d'un élément '$t,{x — Xd), nous avons cherché à continuer la fonction que définit cet élément dans le cercle de convergence.

Il peut se faire qu'on parvienne, par une série de continuations successives, à définir dans tout le plan, sauf certains points, certaines lignes, certaines régions, une fonction univoque et régulière partout, sauf pour les points, lignes et régions exclues. Quant aux lignes de discontinuité, elles peuvent être de diverses natures ; les unes ne pouvant être traversées en aucune façon, comme dans l'exemple de la note du n" SI, tandis que les autres, qui séparent deux régions dans lesquelles la fonction est définie, pourraient être traversées sans obstacle par une ligne suivant laquelle on pourrait continuer la fonction par le procédé

SÉHIES DONT LES TEHSIES DÉPENDENT D'UNE VAltUULK. gi

du numéro précédent, en partant d'un élément relatif à un point de la première région , mais avec cette circonstance, que les séries que l'on trouverait ainsi, après avoir traversé la ligne de discontinuité, ne coïncideraient plus avec les séries qui définissent la fonction dans la deuxième région.

Nous ferons encore la remarque suivante : Soit ^S (-) une série

entière en -< convergente tant que l'on a

où A est un nombre positif. Désignons par A> la région extérieure au cercle de rayon A décrit du point O comme centre. On observera d'abord que la série $(-) définit une fonction de la variable x liolomorphe dans toute aire limitée qui fait partie de J^ sans en atteindre la limite : cela résulte, si l'on veut, du théorème du n" 4Q sur la composition des séries. Imaginons maintenant que, en partant par exemple d'un élément de fonction ï'(i{x — Xg) et en appliquant le procédé de continuation, on parvienne à une série 'Sa{x — Xa), pour laquelle x^ appartienne à X et telle que, pour tous les points du cercle de convergence de cette série situés dans A, on ait

ft\(^-^.)-«(^);

il est clair qu'on pourra alors appliquer la proposition du n° 57 et que, si l'on continue l'élément $a(^ — ^a) en restant dans X, par exemple au moyen d'une chaîne de cercles tous situés dans X, toujours des séries 9^(x — x^) pour lesquelles on

dans la région où îes deux membres ont un sens, et l'on pourra regarder l'élément ^(-) lui-même comme fournissant la continuation de la fonction, dont la partie que l'on considère est dite alors régulière au point co.

M. "Weierstrass entend par fonclion analytique l'ensemble de

92 INTROBUCTION.

touLes les séries lelies que

que l'on peut déduire par coutinuation, soit d'une façon, soi'l d'une autre, d'un élément '^^{x-^Xo)- Nous avons déjà fail obs^erver, et nous le répétons ici, que, dans cette expression /o«ction analytique, le mot fonction n'a nullement le sens que nous avons donné à ce mot dans ce Livre, et qui indique seulement une correspondance entre deux variables telle que l'une des variables, la variable indépendante, étant donnée, l'autre variable, la fonction, soit donnée. C'est ce dernier sens que nous conserverons toutes les fois que l'épitbèle analytique ne sera pas accolée an mot fonction.

11 résulte bien nettement de ce qui précède que l'ensemble des séries, qui constitue une fonction analytique, est déterminé quand on se donne une de ces séries; en d'autres termes, une fonction analytique est détei'minée par l'un de ses éléments. Comme on peut continuer une fonction en revenant sur ses pas et passant de x,i à iCo, au lieu de passer de Xq à x,,, on voit bien que la fonction analytique est déterminée par im quelconque de ses éléments.