V. — Application aux équations différentielles linéaires

61 . Le procédé de continuation d'une fonction donnée par un élément ^t,{x — x^,), c'est-à-dire, au fond, par la suite des coefficients d'une série entière en x — x^, n'est guère applicable directement pour reconnaître les propriétés de la fonction qu'on engendre ainsi, en raison de la complication évidente des calculs quand on passe d'une série à une autre, et l'importance de ce procédé est surtout théoriqiie. Il sert, par exemple, de base pour établir l'existence de fonctions définies par des équations différentielles,

Nous n'avons nullement l'intention d'exposer la théorie de ces fonctions. Nous nous bornerons, pour donner un exemple, à considérer les équations différentielles linéaires et à établir le tbéorème fondamental relatif à l'existence des solutions de ces équa-

SÉRIES DOSr LES TERÎIEI

lions ('), théorème qui nous sera utile plus tard : nous nous contenterons, d'ailleurSj uniquement pour éviter quelques longueurs d'écriture, d'examiner le cas d'une équation différentielle du second ordre. Les raisonnements qui suivent s'étendent, sans difficulté aucune, aux équations d'ordre supérieur. Soit donc

une équation différentielle lÏDéaire homogène du second ordre. Supposons que p etq soient des fonctions de œ développables en séries entières en x — x^ absolument convergentes pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition

Nous allons montrer que, en désignant par Un et if, deux nombres arbitraires, il existe une série de la forme

dans laquelle les coefficients h^, Wa. - ■ ■ sont parfaitement déterminés, convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition précédente (sauf, peut-être, celles pour lesquelles l'égalité a lieu), et qui, pour toutes ces valeurs, vérifie identiquement l'équation différentielle.

On voit d'abord, en faisant le changement de variable

qui change l'équation proposée en une autre de même forme, que Ton peut se borner à examiner le cas où l'on a

Soient donc, dans celte hjpolbèse,

(') La théorie des équations différentielles linéaires, ou point de vue des riablea imaginaires, est due à M. Fuchs, qui l'a développée dans une sérii Mémoires dont le premier se trouve dans le tome Ë6 du Jouiiial de Creite.

INTItODUCKON.

les séries ;

i termes posilifs

Q = lî.l + l?,l+-.+ l5"l--

étant convergentes.

Cherchons à satisfaire idenliquemcnt à l'équalion différenlicll*; par une série de la forme

Ho, u, clant des nombres donnés. En prenant les dérivées première et seconde, pnis substituant dans l'équation flilTércntielle et écrivant qu'elle est idenliqaement vérifiée, il vient

.2Ui-hp(,Ui-h qa'ia= o.

Ces équations, où l'on doit regarder k^, «, comme des données, déterminent successivement et sans ambiguïté les coefficients it^, «3, - ■ ■ , f'«. ■ ■ ., et si la série

ainsi formée est convergente, il est clair qu'elle vérifiera l'équation différentielle. Nous allons montrer qu'elle est absolument convergente pour l'ensemble des valeurs de x qui satisfont à la condition

Soient, en effet, A et B des nombres positifs supérieurs ou égaus respectivement à P et à Q, et, par conséquent à \pn\, \ ^«1 pour toutes les valeurs de n-^ soient, en outre, Vd et Ci deux nombres positifs égaus ou supérieurs à | ((„! et ] ;()|. Considérons les équations

i.2p2= Ac, + Bp„,

9,.3i'j=-2A<'3-i-(A-i-B)i'i-i-Bco,

SERIES DOWT LES TERMES DÉPENDENT D UNE VARIABLIÎ. gO

(„0i.-„=(«-i)A^„,^[(rt-2)A + B]^„, + [(n-3)AH-Bl^„-3-i-,.. + (A + C)^,+ Bc,,

il est clair que, si l'on détermine les quantités f^, i^j, . . . , i'„, . . . par ces formules, tous les nombres ainsi trouvés seront positifs et que l'on aura

or l'éqiiallon qui détermine !!„ peut s'écrire

en retranchant, membre à membre, de cette équation celle qu'on en déduit en changeant n en h — i , 11 vient

(« - i) /i.„ = in -i)[A + n~ 2] 9,,-., -<- B .„, ;

ainsi, il suffit de supposer A > a, pour que v„ soit supérieur à "n-i, quel que soil n, supposé toutefois plus grand que un. On a d'ailleurs

le rapport -^^-2 étant inférieur à un, on voit que, lorsque n augmente indéfiniment, le premier membre a pour limite l'unité; par suite, si x' est lin nombre positif plus petit que un, la série

est convergente; la série

est donc absolument convergente si la valeur absolue de x est moindre que un. Le théorème est démontré.

62. La valeur de u.„ tirée des équations (I) est évidemment de la foi-me

!(„= A„jHc-l-ll!l««i,

où x,, et tiStj, sont des fonctions des coefficients /)<,, />,, . . ., '/(,,

y,, .... Si l'on suppose u,=o, Ua=^i, u» se réduit à A,,; de même il se réduit à il'o„ si Ut, = o, «, := i ; il résulte par conséquent du théorème précédent que les séries

X{a:) = 1 + A>5 572+X33-' + . . .-H JL„a-'M'. . , ■\l!i(2^) = a^-v-illi,,r= + illija:'-^...-nlli„a:"-i-.. .

sont convergentes pour les valeurs de X qui vérifient la coudilion

et la forme générale des solutions de l'équation différentielle, qui ])cuvent être représentées par une série entière en x, sera

où ((„, H, sont des constantes arbitraires égaies aux valeurs pour ^^ o de/(a;) et de sa dérivée.

Le fait que les coefficients de la série /{x) sont déterminés quand on. se donne les deux premiers, n'est que la traduction de cette proposition évidente a priori : si une foncllon est assujettie à vérifier l'équation différentielle

y-H/ij'-r?J- = 0,

les valeurs de ses dérivées seconde, troisième, ... en un point sont déterminées quand on se donne les valeurs en ce point de celte fonction ei de sa dérivée première; cela résulte pour la dérivée seconde de l'équation

elle-même, pour la dérivée Iroisièine du celle qu'on en déduirait en la différentiant, etc.

63. Supposons que les coefficients p, q de l'équation difiérentielle soient des polynômes entiers en x ou des fonctions transcendantes entières. Il existera «ne fonction satisfaisant à l'équation différentielle linéaire, prenant ainsi que sa dérivée au point X ^^ X(, des valeurs arbitraires Ua, "i et développable en une série entière en x; — x^, convergente dans un cercle de rajon arbitraire, c'est-à-dire dans tout le plan. La solution générale de l'équation différenlielie sera une fonction Iranscendante entière.

SÉRIIÎS LIONT LES TUEIMES LÉPENBENÏ L> [Ï\E VALUABLI!.

Gâ. Supposons que p et q soient des fractions rationnelles

tf(^), ^ix), ^{^) étant des polynômes entiers n'ayanl pas de facteur commun. Soient^,, a^, ..., a^ les racines distinctes de l'équation

soit enfin Xa un point du plan distinct des points a.^ , Ca, . . . , a^. Si R désigne un nombre positif moindre que tous les nombres

les fonctions/) et q pourront être développées e en X — ^oi absolument convergentes pour les

rifient la condition

i entières de X qiii

il existera donc une fonction y?^ {x — Xo) vérifiant l'équation différentielle, prenant pour x ^= Xo, ainsi que sa dérivée, des valeurs arbitrairement choisies lo, o-o, et convergente povv les valeurs de œ qui satisfont à la condition

I a^ - sr„ |< R.

Ceci posé, imaginons une courbe (S) partant du point Xa, ne passant par aucun des points «o, a,, ..., «p. Il est aisé de voir qu'on pourra continuer la fonction ^Sq{x — Xi,) tout le long de cette courbe. Soit, en efi'et, 5 un nombre plus petit que les plus courtes distances des points a,, a^ , ..., «j, à la courbe (S); considérons une chaîne de cercles Co, C), . -., C„ ayant respectivement leurs centres aux points Xg, a^i, . . ., ^„ de la courbe (S), et rencontrés successivement par un mobile qui partirait du point Xe et décrirait la courbe dans le sens des arcs croissants (n" 89). Dans le cercle Co la série ^i\ (x — Xg) vérifie l'équation différentielle; cette fonction prend, avec sa dérivée, au point x, intérieur à Cn, les valeurs 1|, jA) ; soit 'S,(x ^ Xf'jia série entière en 3;; — cc, qui vérifie l'équation différentielle et dont les dcus premiers coefficients sont 1) et p.,; au point X), les séries $o (^ — '^n) ^'

S)(j; — Xi) coïncident ainsi que toutes leurs dérivées; 'S, (a; — Xf) ne diffère donc pas de la série obtenue en remplaçant, dans

''Su{.'V ^ Xo), X — Xt} par

et développant suivant les puissances entières de x — Xf On continuera ainsi de proche en proche, et l'on arrivera en x,, avec une série détermioée ^n {x — x,,), qui peut être regardée comme déduite de <?o {x — Xo) par le procédé de continuation, en cheminant le long de la courbe (S) (n° S9). Cette série, qui -vérifie l'équation différentielle, dépend uniquement des nombres \, [t^ et du chemin (S) parcouru pour arriver au point x„.

Si l'on considère une aire (Â), limitée par un contour simple, ne contenant ni à son intérieur ni sur sa circonférence aucun des points «0, a, , . . ., ap, il existera une fonction f{x) holomorphe dans toute cette aire, vérifiant l'équation différentielle et entièrement déterminée si l'on se donne sa viileur et celle de sa dérivée en un point Xo de (A).

Supposons, en effet, pour simplifier, que le contour qui limite l'aire considérée ne soit rencontré qu'en deux points par toute droite parallèle à une direction convenable, et soit 3 un nombre moindre que la plus courte des plus courtes dislances des points «0, a,, . ■ -, dp au contour de (A). On pourra décomposer (A) en bandes par des parallèles équidistantes, la distance de deux parallèles étant - ; on pourra décomposer ces bandes en carrés, dont les extrêmes pourront être incomplets. L'un de ces carrés contiendra le point X(j, pour lequel la fonction et sa dérivée doivent être égales respectivement à X,,, [Aq; on formera la solution correspondante 'Sg{x — Xn), qui conviendra évidemment dans tout le carré; f{x) sera définie dans tout le carré comme devant être égale à 'Sq {x — x^). Daus un des carrés contigus appartenant à la même bande, se trouve un pointée,, situé aussi dans le cercle de convergence de la série 'S^{x — x^), dont le rayon est supérieur à S; soient )., et (1) les valeurs de $i>(;c — x^) et de sa dérivée, pour ^ :i= ^, ; on formera la solution correspondante $i {x — Xt) et l'on adoptera, pour valeurs de f{x) dans le second carré, celles de (C, (;c — Xi). Ces valeurs continueront celles qui ont été définies

SÉRIES DONT LES TEBMES DÉPIDHDENT D UNE VAIllASLE. 99

dans le premier carré. On passera eosuiie au carré suivant de la même bande, etc. ; on parviendra ainsi à définir la fonction dans toute la bande.

On la définira de même dans la bande contiguë en partant d'un point a;|,, situé dans le cercle de convergence d'une des séries précédentes; tous ces cercles, en effet, empiètent évidemment sur la seconde bande. Les valeurs de la fonction dans la seconde bande continuent celles qui ont été définies dans la première bande, puisque, an point a:'„, la fonction définie dans la première bande et celle définie dans la seconde bande sont égales, ainsi que toutes leurs dérivées. On peut donc effacer la ligne qui sépare les deux bandes, puis continuer ainsi de bande en bande d'un côté et de l'autre, jusqu'à remplir l'aire (A) tout entière.

Si l'on a maintenant une autre aire (B) de même nature que (A), ayant un point ^ commun avec (A) et n'empiétant sur (A) qu'en des points qu'on peut relier à ^, sans sortir ni de (A) ni de(B), on pourra de la même façon, en partant de ce point, remplir l'aire (B) tout entière, puis effacer la ligne de séparation entre (A) et (B), et ainsi de suite. On voit de cette façon qu'on pourra définir, sans ambiguïté, une fonction satisfaisant à l'équation différentielle, holomorphe dans toute aire limitée par un contour simple ne contenant aucun des points critiques a^, a,, ..., a^, pourvu qu'on se donne en un point Xg de cette aire la valeur de la fonction e( de sa dérivée. Si iCg, X,t sont deux points de cette aire, si on les relie par une courbe dont tous les points appartiennent à l'aire considérée, et que l'on continue la solution 'S„ (x -^ a;^) relative au point Xt) le long de cette courbe, comme il a été expliqué précédemment, la solution '$„(x — x„), avec laquelle on parviendra ainsi au point ce,,, sera évidemment indépendante du cbemin parcouru (n" 59).

Mais il en serait autrement si les deux chemins parlant de ^^ ^^ aboutissant en x». contenaient dans l'aire plane qu'ils limitent un des points critiques a,,, et), .. ., a.p. Si l'on relie tous ces points par une ligne brisée, dont tous ces points seraient les sommets, s'étendant ensuite indéfiniment à partir du dernier point et telle que chacun de ses éléments ne soit traversé par aucun autre, puis, que l'on pratique une coupure dans le plan le long de cette ligne, on voit, par ee qui précède, qu'il existera une fonction /(a:)

ilRODUCIlOS.

holomorphe dans tout le plan coupé, satisfaisant s l'équation différentielle, et entièrement déterminée quand on se donne sa valeur et celle de sa dérivée pour un point du plan coupé.

Ces considérations s'étendent sans peine à des équations différeniielles linéaires plus générales que celle que nous venons de considérer, el l'on trouve ainsi, sans rencontrer de difficulté nouvelle, que, si les coefficients p, q sont liolomorphes dans une aire (A) limitée par un contour simple, il existera encore dans cette aire une fonction holomorphe, vérifiant l'équation différentielle, entièrement déterminée par sa valeur en un point de !"airc et celle de sa dérivée.

FONCTIONS TRANSCENDANTl