I. — Fonctions exponentielles et circulaires

65. Abandonnant maintenant ces considérations générales, nous allons établir quelques résultais fondamentaux dus pour une bonne partie à Euler et relatifs aux. fonctions exponentielles et circulaires (').

On sait que la série

est absolument convergente dans tout le plan : elle définit une fonction transcendanle entière. Nous allons montrer que sa somme est la limite vers laquelle tend

quand m augmente indéfiniment par dos valeurs entières et positives.

Supposons d'abord x réel et positif. La relation

(■} Les n- 65, 67,C maie par M. Daiboux

dans le second membre de laquelle les cocfficicnls de a:°, x' , x"^, . . . , x"' sonl tous positifs, montre que, lorsque m augmente, (14---) augmente, puisqu'il en est ainsi de chaque terme du second membre et que d'ailleurs le nombre de ces termes augmente. D'ailleurs ces termes sont toujours inférieurs aux termes correspondants de la série 'f{x), donc ii-\ — - 1 reste toujours inférieur à la somme de cette série ; f i + — 1 a donc une limite quand m augmente indéfiniment, et cette limite est au plus égale à la somme de la série 'f{x). D'un autre côté, cette limite est au moins égale à la limite de la somme des p -i- i premiers termes du développement de I n 1 j c'est-à-dire à

et cela quel que soit p. On voit donc qtic la limite de ( i -h- — ) est égale à 'f{x).

Supposons maintenant x imagiiiali'e. Si l'on ordonne, siuvunt les puissances de x, la différence

on obtiendra une série dont tous les coefficients sont réels et positifs et dont la somme ne peut donc qu'augmenter quand on remplace «par la:',. On a. m.i

mais le second membre de cette inégalité tend vers zéro quand 1/ augmente indéfiniment. Il en est donc de même du premier.

On représente la fonction <p(aï) définie pour toutes les valeur, de X par le symbole e^; «' ou e n'est d'après cela autre chose qui

L'applicaiion du théorème de la multiplication des séries montre

lédiateiiient Cjue I

et, de cette égalité étendue à un nombre quelconque de facteurs, on déduit sans peine que, quand x est entier positif, e^ n'est antre clidse que le produit de x facteurs égaux à e, en sorte que l'emploi de ce symbole n'implique aucune contradiction.